Средняя мощность иа входе п может быть найдена т (2.13) и (2 14) Для этого н („ на основании теории линий передачи запишем в следующем виде

„„=vi - о„- zZ{a. 1 Ь„\. (2 18)

vz:.

(а„-6„)

(2 19)

Мощность иа входе п определяется 4«рмулой

a:„=-Re(o, r;)=-l-(ii„<i;-6„6;)

,2 20)

Отсюда видно, что мощность 1,, равна разности мощностей падающей (I 2 а„а„) и отраженной (/2 воли на входе п

Достоинства математического описания цепей с помощью S-матриц. Первое достоинство такого описания цепей заключается в простой возможности измерений S-параметров Рассмотренные ранее ABCD-параметры на СВЧ трудно измерять На низких частотах эти измерения проводятся путем измерения напряжения и (или) тока на одном из входов при разомкнчтом или короткозамкнутом втором входе На СВЧ чрезвычайно трудно реализовать идеальную разомкнутую нагрузку и также трудно точно установить место1юложение короткого замыкания В противоположность этому S-параметры четырехполюсников изме ряются при подключении к одному или другому входу нормирующего со[1ротнвлепия (обычно 50 Ом) Обычно измеряемые на СВЧ величи ны, такие как коэффициенты отражения и коэффициенты передачи, непосредственно выражаются через параметры рассеяния

Другое важное достоинство использования S-матрнц состоит в следующем S-параметры определяются на основе распространяющейся волны, в отличие от токов или напряжений волновые переменные не изменяются по амплитуде при движении вдоль линии без потерь Это 1Ючволяет измерять S-параметры исследуемого устройства на некотором расстоянии от его физического местоположения Влияние вспомогательной линии с малыми потерями может быть учтено изменением измеренного значения фазы Это эквивалентно сдвигу плоскости отсчета В противоположность этому Л ВСО-параметры, как и Z- или У-параметры, изменяются при движении вдоль линии не только по фазе, но н по амплитуде

Приведем некоторые важнейшие свойства S-чатриц !) для взаимных цепей S-матрица симметрична, т е S-S, (2 211

где индекс t означает транспонирование матрицы 2) для пассивных цепей без потерь

для всех £1,2, , JV Уравнение (2 22) является прямым следствием закона сохранения энергии пассивных цепей без потерь,

3) в пассивных цепях без потерь У S„,S;,-0 (для всех s, г=1.2, ,N,sr

(2 23)

Условия (2 22) и (2 23) ограничивают число независимых элементов в матрице рассеяния размером N X N до N (N + 1)/2 Матрица, довлетворянндая этим двум условиям, называется унитарной На 1зыке матричных операций эти условия имеют вид

А- - [Aj-*

(2 24)

-ho уравнение означает, что в случае пассивной цепи без потерь комплексно сопряженная матрица рассеяния является обратной транспонированной исходной матрице

Примеры матриц рассеяния. Примеры S-матриц некоторых наиболее распространенных четырехполюсников приведены в приложении 2 1 Там же приведены ABCD- и Г-параметры зтих компонентов. S-магрнца линии передачи без потерь (приложение 2.1, строка 1) может использоваться для нахождения S-матрицы исследуемой цепи в тех случаях, когда плоскость отсчета какого-либо из ее входов сдвинута из-за подключения к Этом> входу линии передачи (или волновода) Можно показать, что если к /-му вход> подключена добавочная линия длиной I, то каждый из коэффициентов S;, или S„ (т е элементы матрицы, имеющие индекс /) должен быть умножен на коэффициент е--"", а коэффициент 5/ должен умножаться на множитель е Р

а 2 2 СВЯЗЬ S МАТРИЦ с ДРУГИМИ МАТРИЦАМИ

Связь между S-матрицей и Л flCD-матрицей. Рассмотренные ранее S-пэраметры неудобны при анализе каскадно соединенных цепей В таких случаях S-параметры желательно преобразовать в ЛйСО-па-раметры Для такого преобразования могут использоваться следующие уравнения

Уравнения перехода от S матрицы к Л BCD-матрице.

fl = (l I Sn rnrS){ Z2H2Snh

c{\ -Sm-s,, + asi(2S2, ГгйГл;!,

D-(! -S,,-S,,-AS) iZJ{2S,l

(2 25) {2 26) (2 27) (2 28)

де Z,„ и Zoj - нормир>ющие сопротивления для S-параметров на входах / и 2 соответственно, а

AS«(S,,Sm~S„Su)

(2 29)

Заметим, что если S, - О, то ЛВСД-пзраметры становятся неопреде-1енными Параметр S», представляет собой коэффициент прямой пере дачи и в СВЧ цепях он редко бывает равным нулю

Уравиеииа перехода от /1 SCO матрицы к -матрице.

-лд,- 8сг.,г.,+рг.,

(2 30) (2 31) (2 32) (2 33)

Для взаимных цепей член (AD - ВС) в формуле (2 31) равен единице и следовательно, S,, становится равным Sj,.

Со"т«оше„ке »е«у S-матрицей и У- и г-«а,ри>,амн. Если напряжения и токи (направленные внутрь) обозначить «"Р"" " f?" ответственно, матрицы проводимости и сопротивления определяются выражениями

i=Yv, v.Zi, <2-3

(2 35)

Входные напряжения и токи связаны с волновыми переменными и Гаюрмулами (2 18) и (2 19) соответственно Отсюда могут быть найдены соотношения между S-матрнцами 161

Уравнения перехода от S-матрицы к Z-матрнце. S-матрица мож.т быть найдена из г-матрицы с помощью следующего соотношения

S- VYHZ-Z„)fZ-f Z„)- Vz„.

... (2 36)

где Zo, fZo и Vy, - диагональные матрицы с элементами диагоналей

г<,и Zot-, 2вл. vz;;: ут. , v. i/Vz;,, i/vz;,. . i/vz~;

соответственно. Zq,, Zoj. , Zn представляют собой нормирующие сопротивления различных входов схемы

Уравнения перехода от У-матрицы к S-матрице. Для преобразования К-матрицы в S-матрнцу исиользуегся соотношение (6)

S - I/ Z;(Y„ Y) (Уо-г Y)- КП. (2 37)

где V„ - - диагональная матрица нормирующих проводимостей различных входов с элементами диагонали, равными l/Zm, l/Zoj

Из этих соотношений нетрудно получить выражения Z- и -матриц через S-матрицу

Z-y%{lS){l-S)- %, (238)

V -Ky;(1-S)(I + S)-4. (2.39)

где 1 - единичная матрица.

2 3 МАТРИЦЫ ПЕРЕДАЧИ

Рассмотренная ранее матрица рассеяния неудобна для анализа чем, состоящих из каскадно соединенных четырехполюсников Как же говорилось, в этих случаях S-матрица может быть преобразована •4ЙС0-матрицу. Возможен и другой путь анализа каскадных схем, ]и котором используется новый набор параметров рассеяния (на основе волновых переменных) со свойствами, аналогичными свойствам 18С£)-матриц относительно умножения матриц при каскадировании ML-ментов Неудобство каскадирования при использовании S матриц .лляется результатом того, что не все переменные на входе являются Ц1ависимыми Действительно, переменные Ь, и foj зависят от независимых переменных а, и а.. Если параметры рассеяния расположить шалогично ЛбСО-параметрам, чтобы на входе / все параметры были 1висимыми переменными (а и bi), а выходные волны были независимыми («2 и 6з), та полученный набор параметров будет обл адать свойства-ш, аналогичными свойствам набора ЛбСО-параметров Таким путем i.m четырехполюсников определен новый набор параметров, называемых параметрами передачи, или Т параметрами (6. 7]

(2 40)

Определенные таким путем Г-параметры связаны с S-параметрами сле-[ующими соотношениями

Г„--S,,/S„,

Т„ 1 S,,

(241) (2 42) (2 43) (2 44)

Как и в случае ЛбСО-парамегров, Т-параметры становятся неопре-1еленными, если коэффициент прямой передачи = О

Значения Г-параметров для различных четырехполюсников могут ныть получены по фюрмулам (2 41)-(2 44) Для каскадных цепей /" параметры полной схемы получают перемножением Г-матриц отдельных компонентов схемы Матрица рассеяния полной схемы может йыть найдена из Г-матрицы по следующим формулам

5„=7-„-(Г,: 5,,-1/Га.

Г„ Т„).

(2.45) (2 46) (2 47) (2 48)

1ля того 4T0faJ можно было осуществить преобразование Г-матрицы 11 S-матрицу. параметр Г« не должен быть равным нулю.

Т-параме-тры взаимных четьлрехоолюсыиков удовлетворяют too i -HOixieH ию

7-11 -7-.г 7-1-1, <2.49)

которое анало1~ично соотноииен н ю Z) - ВС = 1 я >1 CZI>-riapa-

метров- Если Lxerifc. сх» стороны вхола и вь>1ХОЛ.а идентична, то -Sj = -Saa. что приводит к. формуле

= -(2.50>

Преовразованне матриц, рассеяния в Х-матрнц.ьл более предпочтительно, чем в Л ВСЛУ-ьлатручхъл по следунзилнм причинам. Вычислительные затраты при преобразовании -матриц, в 7-матрицы оказываются несколько меньшими, чем при преобразовании -матриц, в CZI-матр и-цы. Кроме того, Х-параметры определяются через волновые переменные, нормированные относительно волновых сопротивлений входов точно так же, как и ;5-параметры . то облегчает переход от Одног-о типа описания схемы к другому.

Х"-параметры легко получить из S-параметров или непосредственно из уравнений для линий передачи и законов Кирхгофа. Хля некоторых компонентов 7-матрнц.ы приведены в приложении 2.1.

Рассмотренные в этой главе три типа математического описания схем используются в процессе машинного анализа и проектиро-ва1{ия СВЧ устройств, описанных в последу кэщих главах.