С (v) dv/dt

(14 52) (14 53) (14 54)

Аналогично для нелинейной индуктивности можно поручить

vL(i)dild1 (14.55)

Уравнения (14.53) и (14.55) могут быть линеаризованы тем же спо собом, которым линеаризовыва-:ссь выражение g {v)

14 4 МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ

Метод переменных состояния является наиболее общим методом анализа во временной области линейных и нелинейных схем и систем

В методе переменных состояния линейная время-независимая схе ма описывается двумя уравнениями

(14 56)

X - Ах+ Ви yCx+Du+(DU, f...),

(14,57)

где U - m-элементныи вектор столбец, соответствующий т входам (независимые источники); у - р-элементный вектор-столбец, соответствующий р выходам (искомые напряжения и (или) токн; х - п элементный вектор-столбец, содержащий набор п независимых допол нительных переменных; А, В С, D, D, - постоянные действительные матрицы соответствующих размеров Заметим что А всегда является квадратной матрицей порядка п.

Уравнение (14.56) представляет собой систему л дифференциальных уравнений первого порядка, называемых уравнениями состояния. Набор дополнительных переменных jc,. х, х„ на.зывается переменными состояния, а X = (х, х, х„) - вектором состояния Уравне ние (14.57) на,зывается выходным уравнением

Для общего нелинейного случая уравнения состояния можно за писать в виде

/(X U /)

(14 58)

Поскольку уравнения схемы могут записываться в форме (14.56) или (14.58) то для получения приближенного решения системы уравнений можно использовать некоторые численные метода соответствующие выражениям (14,40) - (14,42). Основная трудность заключается в формулировке уравнений состояния и в частности, в определении мат рицы А, если уравнения записываются в форме (14.56) 272

Число уравнений Л (14.56) или (!4 58) зависит от сложности схемы Для системы п линейно-независимых уравнений наиболее общее реше ние должно содержать л произвольных (юстоянных, которые определи ются п начальными условиями. Обычно, но не всегда, эти п начальных условий задаются значениями х, ,..,х„ при / = 0. Итак, порядок слож ности схемы п равен числу независимых начальных условий, которые для получения полного решения х (/) могут и должны быть выражены через электрические переменные,

В 18] [[Оказано, что для линейных время-независимых схем на эле ментах с сосредоточенными г[араметрамн порядок сложности равен чис лу независимых напряжений на емкостных и токов в индуктивных эле ментах, В /?1С-цепях некоторые емкостные напряжения и (нли) ин дуктивные токи могут не быть независимыми. Это происходит в тех слу чаях, когда схема содержит один или более контуров, содержащих толь ко конденсаторы и, возможно, независимые источники напряжения (контуры такого типа называются С. £,-контурами), или когда схема имеет одно или более сечений, содержащих только индуктивности и возможно, независимые источники тока (сечения такого типа называ ются L -сечениями).

Таким образом, порядок с1ож[юст I ч)6oи /?LC [tenn 0[ределяется формулой

П -Ь с- ПС п

(14 59)

где Ьи. - суммарное число емкостных и индуктивных элементов Пс - суммарное число независимых С F -контуров; ni суммар ное число независимых L, J; -сечений.

Для линейных активных цепей число неременных в х может быть меньше, чем определяется уравнением (14,59). Общий метод машинной формулировки уравнений состояния для линейных активных цепей можно разделить на два этапа. Первый этап состоит нз формулировки уравнений «начального состояния» в виде

(14 60)

где вектор х"* учитывает все напряжения на конденсаторах и токи че рез катушки индуктивности; и учитывает напряжения всех независи мых источников, М*"* - постоянная матрица, состоящая из коэффи циентов элементов х", Переменные в х" могут быть, а могут и не быть линейно-независимыми Зависимые переменные в х"* обнаруживают ся и исключаются на втором этапе Уравнение (14.60) сначала приво дится к виду

х-АхН Ви + (В, х-

(1461)

где элементы х являются подгруппами х*"*. Теперь уравнение (14.61) можно привести к нормальной форме (14,56). Машинная формулировка уравнении состояния и их решение детально рассмотрены в !9

Как уже говорилось, метод переменных состояния может быть рас пространен на нелинейные схемы, а нормальная форма уравнений в этом случае имеет вид (14.58). Однако формулировка уравнений состоя ния в этом случае становится более сложной, поскольку наличие нелинейных элементов привод(гт к появлению немонотонных характеристик схемы, что может явиться причиной появления посторонних урабнеиий (Юрмальиой формы. Немонотонная характеристика может также появиться при соединении отрицательных сопротивлении или управляемых источников с другими компонентами,

Подробное рассмотрение топо;гогической формулировки уравнении состояния для не.тииейных схем, основанное на гибридных матриг1ах рассматривается в О].

Ра.чл1!чные методы анализа во временной области, paccютpeн[ыe в Hdcroiimefi (лаве. мог\т (К1Ю,т1,,:овли,с>1 a-ii dnajuia СИЧ цепей

Глава 15

МЕТОДЫ МАТРИЧНЫХ ОПЕРАЦИЙ

Различные методы анализа схем, рассмотренные в [[редыдущих главах, имеют одно общее свойство. Все они требуют решения системы совместных линейных уравнений Эти уравнения представляются в матричной (}х)рме и для выполнения анализа схем требуется произво днть различ[п.1е матричные операции (перемножение, нахождение об ратных матр1П1 и др). Если при проектрованни схем используется оптимизация, то. как будет показано в гл. 16- 18, возникает необходимость осуществлять анализ неодпократно в соответствии с числом итераций ал гори тма оптимизации.

В данной главе рассматриваются два эффективных метода решения матричных уравнений: метод исключения Гаусса и метод 1[7-факто ризации. Также рассматриваются некоторые методы операций над разреженными матрицами, которые используются для уменьшения необ ходнмой памяш и повышения эффективности вычислений.

15 1 МЫОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА

Пусть треб\ется найти решение системы тинеиных уравнении г, Н а,о .Vj

-1-о,„ Хп --- Ь, + ап х„ - b

й , X, т . га„ х„ -Ь,

Эти уравнения могут быть записаны в матричной форме

Ах-Ь

(15 2)

Og, а..

Для решения уравнения (15,2) имеются различные хорошо известные методы. Наиболее простои метод, использующий правило Крамера очень неэффективен. Для решения системы нз п уравнений с использо вакием правила Крамера потребуется Л = 2 (п + 1)! длительных операций, В этом разделе рассмотрим алгоритм исключения Гаусса, при котором требуемое число длительных операций составляет примерно rv. Сначала проиллюстрируем эту процедуру на простом примере приведенном далее.

Пример. Найдем решение следующей системы уравнении

2х, : - Hi. (15 За)

4л,-i Tx-i- I. (15 Щ

-2л, , 42 - 5.v4 - 7 (15 .1в) Используя (5.3а1, исключим л, и.) дв1х ipvrfu уравнении

2X1 2jg-,-Зх., - 3. (15 4а)

\ X, - 5, (15 46)

Сщ Вк,--4 (15.4в)

Теперь исключим ,vj нз (15 4в)

2/, .Ur 3. (15.5d)

3..-,,-!-V:r- -5 (15 56)

6x,-t>. (15.5в) Теперь решение для л,, и Хз может быть получено в обратном порядке - путем обратной подстановки- Из уравнения (15.5в) находи!

в (I3 5б( л

луч;

- 2 Окончателы

л (15 5а н

Уравнения (15.5) называются треугольными, а процесс получения решения в обратном порядке называется обратной подстановкой Oq новные операции, используемые в этом примере, следующие:

1) умножение уравнения на константу, не равную нулю;

2) замена / го уравнения суммой / го и А го, умноженного на а \равнеиий, где а -- некоторая константа, а b Ф j.

Метод, использованный в приведенном примере называется методом исключения Гаусса, С его тгомощью может быть получено решение п совместных уравнений.

идя осуществления этого метода на ЭВМ перечисленные операции могут вы1юлняться над расширенной матрицей ко.эффицнентов fA Ь) Если М является расширенной матрицей размера л х(« + 1) то для приведения матрицы А к треугольной форме необходимо выполнить следующие действия

Fvr all \i. \ to r\ - \ do beg.n

For 1 - к 1-1 (or do begin

a - -mik nijdi

For all ] к /о n !-1 do тц - m\) a mk end (for i) end (for k)

В этом алгоритме нз перечисленных операций используется только вторая. Так как каждой строке матрицы М соответствует уравнение, то в самом внутреннем цикле члены (-й строки суммируются с соответствующими членами k-k строки умноженными на коэффициент (-/Н;,,/ ffffts). Этот процесс выполнется только для столбцов от А-го до (л го, так как в столбцах от 1-го до к \-т в строках от А-й до л й уже получены нули

Член т„ корректируется (л - А) (л А -н 2) раз для каждого А 1 ... (п - I). Следовательно суммарное число выполненных корректировок составляет

{п-к){п к + 2)

п {п 1)(2п.->)

Число операЕШН вычисления константы а составляет У(л-*).-

(15 6а)

(15 66)

В самом внутреннем цикле каждой корректировки требуется одна операция умножения, а при вычислении константы а - одна операция Деления. С1едовательно, суммарное число длительных операции необходимое для получения треугольных уравнений составляет 1)(2я -Ь) , п{п-~ I) п{п-\){п i-4)

+ -

(15 7)

Приведенный алгоритм записан в предположении, что диагональные элементы /л не равны нулю, Эги элементы называются ведущими Для обеспечения неравенства нулю ведущих элементов необходимо на ряду с двумя рассмотренными ранее операциями выполнять еще две операции над расширенной матрицей.

3) перегруппировку строк матрицы М (при этом изменяется толь ко порядок, в котором записаны уравнения; эту операцию использу ют для того чтобы по возможности увеличить значение ведущего элемента);

4) перегруппировку столбцов матрицы А (при этом неизвестные X записываются в другой последовательности; чтобы 1юсле вычисления переменных можно было корректно определить их значения в перво начальных обозначениях информация обо всех перестановках столбцов должна запоминаться)

Из приведенных четырех операций первые три производятся над строками матриц и называются элементарными операциями строк Выполнение элементарных операций строк над матрицей аналогично \множению матрицы на другую матрицу, которая получается выполне мнем тех же самых операций строк над единичной матрицей.

После приведения матрицы М к треугольной форме результирующие уравнения решаются в обратном порядке. Решение каждого уравнения определяет одно неизвестное. Этот процесс может быть записан следующим образом.

t г „II ! п tttp I "iia 2 d hefi n

bj - bj.ajj

For ull I end (for J)

/ b, b ai)b]

?десь члены a,j и ft являются частями lA[b треугольной матрицы М и решение для х теперь выражается через b Число выполненных операций корректировки ft, составляет

(п-1)(п-2)

I - п(п

Каждая оп)ация корректировки Ь, во внутреннем цикле включает в себя одну операцию умножения Дополнительно используется п операций деления. Следовательно число длительных операций при об ратной подстановке составляет

М,-пп{п-\) 2 /1(л+ I) 2

(15.8)

Суммарное число дштельных операции при использовании метода Гаусса согласно (15.7) и (J5.8) состаа1яет

(15 9)

В процедуре исключения Гаусса обращение матрицы А явно не оп ределено. Матрицу, обратную А, можно найти с помощью матрицы, ко торая получается дополнением матрицы А единичной матрицей тех же размеров. В этом случае матрица М записывается в виде

М --А II.

(15 10)

Матрица А приводится к треугольной форме с помощью описанных ра нее операций строк над расширенной матрицей М. Затем аналогичные операции строк выполняются над матрицей М (чтобы уменьшить число операций приведения к треугольной форме и последующих операций) и теперь эта матрица будет содержать матрицу оатную А. Далее рассматривается процедура, которая выполняется после приведения мат рицы А к треугольной форме