Пр» больигом р 1Ю1УЧИМ прямое минимаксное опредетенне целевой функции Положим

и{Ф)- max (Ф

W {у(>){Р{Ф if)

-s,m\ (1ь.2б)

где Su (ip) - верхняя допустимая граница характеристики. Si (ip) - 1ШЖ1гяя допустимая граница характеристики; (if)- весовая функция для S„ (t) и ()- весовая функция для S, (if). Эти величины удов-leTBopainr следующим ограничениям:

•5„(*)>S(ip) а (1)> и (1))>0 (16 27)

При этих условиях W (if) {F (Ф, if) - 5 (ip)} и - Wi (ip) {/ (Ф,Р) - Sj(if)} положительны, если заданные требования не достигнуты; равны нулю, если эти требования выгюлнены, и отрицательны, если они превышены. В случае, когда вместо верхней и нижней допустимых границ характеристик требуется достигнуть одной заданной характе ристики, то

5,(1р)- S,(ip) -(ip) (16.8)

и-ЛР) ti/W (16 29)

Таким образом (16 26) сводится к выражению

и. шах ii2(4)){f(Ф «р)- S(ip))l (1640)

ичвестному как целевая функция чебышевского типа

Примеры верхних и нижних допустимых границ характеристик фильтра нижних частот полосового усилителя а также типичные функции F (Ф. ip), удовлетворяющие заданным требованиям показаны на рис. 16.6й.

Одной из трудностей, с которой сталкиваются при минимаксной формулировке, является появление разрывных производных в Ф пространстве. Это происходит, когда максимальное отклонение резко перескакивает с одной точки оси ip на другую. Вариантом приведенной формулировки при котором исключаются разрывные производ

ные. является трактовка (/ в качестве дополнительной независимой переменной, 1юдчиненной двум добавочным ограничениям 2i. Тогда задачу можно переформулировать следующим образом; минимизировать и удовлетворяющую неравенствам

U>w, {,(Ф)-5,„). ( 6 I

(Ib.JI) (162)

и другим ограничениям, определяемым заданными требованиями. Мно жества индексов 1„ и I,, которые могут и пересекаться, содержат значения (, соответствующие верхним и нижним допустимым границам соответственно. В точке минимума, по крайней мере, одно из ограничений в (16.31) и (16.32) должно стать равенством, иначе U .можно было бы уменьшить, не затрагивая ограничений. Оучай. когда 1„ и I, бесконечны, совпадает с случаем, определяемым (16.26), и здесь имеет место частный случай, когда

- 5,, S

i I

(1Ь.ЗЧ)

Уравнения (16.29) и (Ib-.h) могут быть теперь за1гисаны как

Uit- \F (Ф) -5,1, (1634)

U-w \F (Ф) SI где igl (16 35)

163 ОГРАНИЧЕНИЯ

Ограничения на значения параметров проектирования Ф зкачитель но влияют на процесс оптимизации. Трудно найти задачу расчета СВЧ схемы, в которой не было бы ограничений. Например, на волновые со противления гюлосковых и микрополосковых линий накладываются ограничения снизу (из-за наличия волн высших типов) и ограничения сверху (из-за трудностей изготовления линий малой ширины). Другие параметры проектирования, как, 1ганример. параметр транзисторов р добротность резонатора и т-д., также ограничены небольшим диа пазоном легко достижимых значений. Прежде чем разрабатывать про цесс оптимизации, необходимо рассмотреть всевозможные ограничения на параметры проектируемого устройства При реогении задач с огра ничениями возможны две стратегии: 1) преобразование параметров при неизменной пеленой функции [11н2) изменение целевой функции с 1гомощью введения штрафов различного рода.

163 I. ШРПБРАЗОВЛНИЕ ОГРАМИЧЕНИП

В большинстве случаев огра1гичения могут быть выражены через нижнюю и верхнюю границы значений элементов Ф Эти границы мож но записать, как

Ф < Ф < Ф„ 1 1 2

(16X6)

с 5ТИМИ ограничениями удобно обращаться определив Ф; как

Ф, Ф, -(Ф„,--Ф,,-)&1П»Ф; (1б37а)

Ф, 1.2(Ф„Ф„,)т1 2(Ф„, Ф,,)5шФ (16 376»

Если допустимая область открыта т. е. Ф,; < Ф < Ф то можно воспользоваться следующими преобразованиями

Ф;=-Ф;,- (Ф„ Фь-)ехр(Ф,)4Н ехр(Ф)! (16 38)

ф, ф, -г - (ф -Ф, )агсс1е(Ф)

(16 39)

В (16.39) - оо <Ф; < оо однако допустимы лишь решения в иитер вале О < arcclg Ф, < л Это преобразование действует как штраф в окрестности верхней и нижней границы. Поэтому, если значения опти мума ожидаются вдали от границ, это преобразование вводит более предпочтительный масштаб параметров.

Встречается также другой тип ограничении в расчетах СВЧ цепей - ограничение на частное двух параметров. К примну, ограничения на отношения двух волновых сопротивлений возникают в распределенных линиях с реактивными неоднородностями что можно выразить, как

/<ф5;Ф,<и, Ф,>0, Ф,>0. (16.40)

Преобразования

Ф,= ехр(Ф)с05й,Ч (й„ -в,)51П*Ф;) (16.41)

Ф; ехр(Ф;)5[п(в +(в„-в,)5]п*Фг) (16 42)

0<e,---(arctg/)<f)„ -(arclgii)<n.2 (16.43)

гарантируют что для люли Ф! и Ф ограничения (16 40) выполняют

I(i32 ШТРАФ ЗА НАРУШЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИИ

Простым слоозбом запретить превышание ограничений является отказ от любого множества значений параметров, которые дают недопустимое решение. Это может быть достигнуто временным заморажива кием параметра (или параметров), для которого нарушены ограниче ния, и легко реализовано методами прямого поиска, рассматрнаамн в гл. 17 Однако следует указать что метод, прн котором просто запрещаются недопустимыеточки, легкомо)«т привести к ложному миниму му 3. В качестве альтернативы можно нвложить достаточно большой штраф на целевую функцию при любом превышении ограиич«1ий Для этой цели добавим член

( 0 для й,(Ф)>0 ( > О для g (Ф) < О

(16 44)

к целевой функции. (Следует заметить что все ограничения здесь имеют вид g, (Ф) > о. Когда ограничения выполнены, штраф на целевую функцию не накладывается- Однако согласно этой формулировке недо пустимые точки все же могут иметь место. Этот способ характеризует ся и другими недостатками. В зависимостиоттипа используемого штрафа целевая функция может быть разрывной или иметь крутые склоны на границах допустимой области и ее первые или вторые производные могут оказаться разрывными.

1633 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИИ

Этот метод 112,131. предназначенный для решения задач оптимиэа ции с ограничениями, включает в себя преобразование целевой функ нии с ограничениями в штрафовзнн\ю целевую функцию без ограниче нии вида

Р(Ф.г) (/(Ф

[16 45>

где G (Ф) непрерывна впутри допустимой области {g, (Ф) > 0) и G (Ф) оо для любых g (Ф) -ьО и г >0 Обычно G (Ф) используют

в дв\х видах

G (Ф) - V~

6(Ф) - - Vgg (Ф)

(16 46)

(16 47)

Процесс минимизации начинается с выбора значения Ф внутри об тасти/?, обозначаемойи определяемой как R" {Ф\g (Ф)>0} и выбора начального положительного значения г г, Функции Р (Ф, г) в (16.45) минимизируется для этих выбранных значений Ф и г В соответствии с (16 46) и (16 47) следует ожидать, что минимум Рт1ч (Ф. /"i) лежит в Эта процедура повторяется для строго убываю шей последовательности значений г. т е. > г > . > > 0. прн чем каждая очередная минимизация начинается в минимуме предыду щей. Например, минимизация Р {Ф.г) начинается вФтт!!)- Каждый раз с уменьшением г влияние штрафа уменьшается, и гюэтому естест вемно ожидать, что при /оо и -*0, Фщщ (fj)-»-Ф min и соот ветственно (Ушш (Ф. г) стремится к условному минимуму ит\п{Ф)

Согласно условиям на сходимость этой процедуры [121 требуется чтобы функция V (Ф) была выпуклой, а gi (Ф) - вогнутой, так. что бы функция Р (Ф, т) оказалась выпуклой. Тем не менее этот метод эф фективен при решении широкого круга практических задач, дли которых сходимость не доказана. При п.юхом начальном выборе г и ф за медляется сходимость. Слишком большое значение может сделать пер вые несколько минимумов Р относительно независящими от (У в то время как слишком малое значение может сделать неэффективным штраф, за исключением окрестности границы где расположены доли

мы с крутыми ск.юиами. Обычно прн хорошем выборе г хватает десяти HiaroB, Для осуи1ествления последовательной минимизации без ограничений требуются эффективные градиентные методы оптимизации рас сматриваемые в r.i 18

1в4 ОДНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Перед обсуждением многомерной оптимизации полезно рассмотреть методы минимизации целевой функции одной переменной. В некоторых случаях сама задача может быть одномерной, как, например, ъ с учае нахождения онт1гмальной длины одного отрезка линии передачи в конкретной схеме. Кроме того, одномерная минимнзагшя важна, гюскольку многие методы многомерной оптимизации (рассматриваемые в гл, 17.18) основаны на одномерном поиске минимума в некотором пустимом направлении. Так как процесс одномерного поиска обычно многократно повторяется, желательно для этой цели разработать эф фективные алгоритмы.

Одномерный поиск в процедуре оптимизации многомерных задач обычно начинается из заданной точки допустимой области в некотором выбранном направлении. Эта точка и направ.1ение определяется в предыдущей итерации многомерного поиска. Производная целевой функции вдоль Этого выбранного направления отрицательна. Переменной в в одномерном [юиске является расстояние от начальной точки. Одномерный поиск используется для нахождения минимума в этом каправ лении.

Можно выделить два широких класса методов. Пригодных для одно мерной оптимизации Первая группа состоит из методов исключения, при которых эффективно отбрасываются подынтервалы, не содержащие оптимума Д1Я Этих методов не требуется дополнительных предположений, кроме унимодальности. Методы исключения могут быть также названы минимаксными, поскольку минимизируют максимальный ни тервал, который может содержать минимум. Вторая группа состоит нз методов аппроксимации или интерполяции, при которых функция предполагается гладкой и хорошо представимой в окрестности оптимума многочленами нужной степени.

1ЬМ МЕТОДЫ И1:К1ЮЧКМИЯ

в основу Этих методов положено ггредгюложение о том, что целевая функция унимодальна в интервале который к /-й итерации обозиэча ется как /(, так что

1(%и--1 (16 48)

где и / - соответственно верхняя и нижняя границы интервала За щшем

и Ф;-- (!6,49)

Рассмотрим две внутренние точки = а и Ф = ft в интервале / такие, Что 1<а< Ь< н Пусть значения целевой функции в этих точ ках равны U (а) и (У (ft) Uн- Имеются две возможности

1) Ua>- Ub В этом случае минимум лежит в [а «1 и / - « - - а

2) Ua < Uh- В этом случае минимум лежит в {/, Ь\ и - Ь - {. Конечно, имеется третий, но статистически маловероятный случай,

когда Ua - иh н в этом случае минимум лежит в интервале \а Ь\ и

Желательно, чтобы независимо от сравнения и„ и ы

[/-i-i а = Ь I. (1650)

что достигается размещением а и h симметрично в интервале [/. uj Далее требуется минимизировать /+ и вновь использовать одну нз точек в новом интервале. Это приводит к

li i. u-b-=a-i- (1651)

Из (16.50) и (16 5i) видно что

- + /+, (16,52)

Два хороию известных метода оптимизации различаются способом вы бора двух внутренних точек а н h

Метод Фибоначчи. Наиболее эффективный прямой метод исключения - прямой (юиск Фибоначчи (8,141, Название метода обусловлено ис пол ь-ю ванием последовательности чисел Фибоначчи определяемой

/"о 1 1

F,--F, , f,„,. i = 2,,i, , (1653)

Первыми членами этой последовательности являются i, 1, 2, 3 5 8. 13 2i,,,, Согласно методу Фибоначчи изначально задается общее число п (п 2) вычислений значений функции. Внутренние точки Ф и на /-Й итерации задаются формулами

Ф/ -bll гФ\ где; 12..., п 1. И:1 (16.55) и (16,54) имеем

(16 54) (16 S5)

(16 56)

1акнм образом, симметрия сохраняется, и иа каждой итерации (кро ме первой) требуется только одно вычисление значения функции. Раз личные операции на /-й итерации могут быть собраны в следующий ал горитм:

если U>UТ.

: . ф/, ф; ф, ф/- 1 .ф1 Ul --U и если Ul<: U<„. ТО

фМ Ф Ф- Ф Ф - Ф; Ui ---Ul

(16 57)

(16,58)