1. программы арифметики

с фиксированной запятой

1.1. общие сведения

в данной главе рассматриваются различные форматы -I» представления двоичных и десятичных, целых и дробных, знаковых и беззнаковых чисел, а также методы, алгоритмы и программы выполнения арифметических операций над множеством этих чисел, обеспечивающие заданную точность и диапазон вычислений при определенных затратах памяти и времени работы микропроцессора. • Изображение чисел в любой позиционной системе счисления с натуральным основанием R{R>1) базируется на представлении их в виде произведения целочисленной степени основания R на полином от этого основания [45, 53, 54, 61]:

= 2 а,/?-, (1.1)

где а,е{0,1, /? - 1) - цифры /?-ичной системы счисления («R-ичные цифры»); п - количество разрядов (разрядность), используемых для представления числа; R" - характеристика числа, причем показатель -2,

- 1, О, -fl, +2, ...}; RR-= R"-- позиционный вес /-го разряда числа. В десятичной (R= Ю) системе для представления чисел используются цифры а,-= (0,1, 9), в двоичной (/? = 2) -цифры а,-= (0,1), в шестнадцате-ричной(/? = 16) -цифрыа, = (0,1, 9, Л, В, С, D, Е, F), где прописным латинским буквам Л, .... F эквивалентны соответственно числа 10, 15 в десятичной системе.

Если т = const, то формула (1.1) определяет представление числа Ar в форме с фиксированной запятой (наряду с этим термином в вычислительной математике и технике щироко используется термин-синоним «фиксированная точка»). Позиция, в которой запятая фиксируется между разрядами числа, отделяя целую часть от

Рис. 1.1. Форматы двоичных чисел с фиксированной запятой:

а - дробные числа; б-смешанные числа; в-целые числа

дробной и определяя вес соответствующих разрядов, постоянна в процессе вычислений для всего множества используемых чисел и зависит от заранее установленного значения, т. Если /л < О, то формула (1.1) представляет дробные числа (правильные дроби); если тп,- целые числа; если 0<Ст<Сп,- смешанные числа (неправильные дроби). Обычно для чисел с фиксированной запятой значение т ограничено О m «, т. е. позиция запятой в числе выбирается в рамках п разрядов, отведенных для изображения цифровой части числа.

На рис. 1.1 приведены форматы двоичных {R = 2) чисел с фиксированной запятой для случаев in = 0 (а), т= \ (б) и т== п (в). Далее ограничимся рассмотрением только целых и дробных чисел, поскольку действия над смешанными числами могут быть сведены к отдельным операциям над их целыми и дробными частями. Дробные числа в отличие от целых будем рассматривать как числа с фиксированной запятой в узком смысле этого термина и для их обозначения в формулах и програм.мах использовать букву «ф».

В микропроцессорах основой представления чисел является двоичная система счисления. Рассмотрим пред-

ставление дробных и целых двоичных чисел. При R = 2, т = 0 формула (1.1) имеет вид

Л2ф = ± 2 Oi-2-=riz, 0,02.-On, (1.2)

где 2~ - вес t-ro двоичного разряда; се{0,1} - двоичные цифры.

Формула (1.2) определяет дробные двоичные числа со знаком. Левая ее часть дает развернутую форму записи числа в виде полинома, а правая - свернутую форму записи в виде последовательности цифр (коэффициентов полинома). Для изображения знака числа S (от лат. Signum - знак) отводится дополнительный знаковый разряд (нулевой-с весом 2°), а запятая фиксируется перед старшим (первым - с весом 2~) цифровым разрядом числа (см. рис. 1.1, а). Если заранее известно, что множество используемых чисел не содержит отрицательных, в формате числа разряд знака можно опустить. Такие числа называют беззнааовьши. В «-разрядной сетке дробных беззнаковых чисел может быть точно представлено 2" различных, в том числе 2"- 1 ненулевых, чисел, удовлетворяющих неравенству

Лзфпип = 2~" Лзф Лзфтах " 1 - 2~", (1.3)

где A2,i,~ минимальное (ненулевое), а Лгф max - максимальное из представимых чисел. В свернутой форме записи эти числа изображаются в виде Лгфпш = , 00...01 и

Лгф max = , 1 1... 1 1.

в случае R - 2, т = п формула (1.1) преобразуется к виду

Л2=± 2 а,-2"- = ± 2 fc,-2 = ±fc„ ,...fc,fco, (1.4)

1=1 1=0

где bi = an-i для всех / = 0,1,..., п-i; а,, 6,е{0,1) двоичные цифры. Перекодировка индексов в формуле (1.4) дает удобочитаемое соответствие веса разряда 2 индексу его цифры. Формула (1.4) определяет целые двоичные числа со знаком. Под знак отводится дополнительный {п -j- 1)-й разряд с весом 2", а запятая фиксируется после младшего (нулевого - с весом 2°) цифрового разряда числа (см. рис. 1.1, в). Для беззнаковых целых чисел