ik-tl) разрядов

(п + 1) разрпдоб

Порадок т

Мантисса

Рис. 2.1. Формат /?-ичного числа с плавающей запятой

ности мантиссы и метода ее округления, но и от величины порядка: Дг = /"./-« - для несимметричного и Дг = = 0,5 •/?~" - для симметричного округления (1.9). Значение этой ошибки принадлежит диапазону (для несимметричного округления)

Ар <

Величина граничной относительной ошибки с учетом формулы (1.13) определяется выражением

(1 - R-")

R"-R-

R-R-

(2.6)

где R" • /?~" - граничная абсолютная ошибка числа с плаваюш,ей запятой (при данном порядке т); R" R \ R"-(l-R~") -соответственно минимальное и максимальное абсолютные значения числа при нормализованной мантиссе. Из неравенства (2.6) следует, что граничная относительная ошибка представления чисел с плавающей запятой не зависит от величины порядка, определяется разрядностью мантиссы и практически одинакова для любых чисел, как малых, так и больших. Заметим, что этот вывод справедлив только для нормализованных чисел. Для ненормализованных чисел граничная относительная ошибка может достигать стопроцентного значения. Сопоставление диапазона и точности чисел подтверждает заключение, что в формате числа с плавающей запятой диапазон и точность чисел отделены друг от друга: разрядность мантиссы определяет точность представления чисел, а разрядность порядка - их диапазон.

Арифметические операции над числами с плавающей запятой выполняют действия как над мантиссами, так и

над порядками, причем те и другие представлены в виде знаковых чисел в соответствии с формулами (2.2) и (2.4). Операции над порядками (сложение, вычитание, сравнение) существенно упрощаются, если вместо их знакового представления (например, в дополнительном коде) использовать беззнаковое представление в виде неотрицательных чисел, или так называемое представление со «смещенным порядком», применяемое в ряде ЭВМ [30, 61, 65]:

/Пом = m + (2.7)

где т - несмещенный порядок в дополнительном коде; /?* - смещение; тем - смещенный порядок. Диапазон представления порядка т с учетом выражений (2.4) равен -/?* < m < - 1. Корректируя этот диапазон согласно формуле (2.7), получаем неравенство 0<т,,<2/?* - 1, гарантирующее, что тем - всегда неотрицательное число, представляемое теми же + 1 разрядами, что и несмещенный порядок т с k цифровыми и одним знаковым разрядами. Схема соответствия несмещенного и смещенного порядков для двоичных чисел (R = 2) приведена на рис. 2.2. Очевидно важное свойство смещенных порядков, используемое при их сравнении: если mi т2, то всегда mi 2 см *

На практике существует большое разнообразие представлений чисел с плавающей запятой, определяемое, во-первых, выбором различных систем счисления: двоичной {к = 2) и двоично-смещанных (Q = 8, 10, 16); во-вторых, различными способами кодирования знаковых чисел мантиссы и порядка:, прямым, обратным, дополнительным- или кодом со смещением; в-третьих, различными разрядностью формата и размещением порядка, мантиссы и их знаков относительно друг друга в формате числа [30, 56, 61, 65]. Например, в ЕС ЭВМ для представления короткого формата числа с плавающей запятой отводятся 32 двоичных разряда, из которых 25 используются для представления шестнадцатеричной мантиссы в прямом коде (6 шестнадцатеричных разрядов), а 7 - для представления шестнадцатеричной характеристики -2*=Ю...ОО -2° 11...11 O0...DO 2°=00...01 2-1=01 ..11 т

--1--

DQ...O0 01...11 10...D0 10...01 11 11 т

Рис. 2.2. Схема соответствия несмещенного т и смещенного тс„ порядков

Рис. 2.3. Форматы двоичных чисел с плавающей запятой

СО смещенным двоичным порядком (смещение--64). В данном пособии используется представление двоичных чисел С плавающей запятой со смещенным порядком и мантиссой в дополнительном коде, причем числа имеют два формата: трехбайтный обычной точности и четырех-байтный повышенной точности.

На рис. 2.3, а изображен трехбайтный формат двоичного числа С плавающей запятой обычной точности. Над рамкой формата проставлены номера двоичных разрядов байта. Число хранится в памяти микропроцессорной системы в виде последовательности трех байтов, размещенных в порядке возрастания адресов памяти. Первый байт числа в старшем разряде содержит знак мантиссы Sm и смещенный порядок (смещение равно 64io = 40i6), а два остальных байта - СТБ и МЛБ мантиссы. Сокращенно формат запишем в виде (8,16). Пограничные значения чисел этого формата указаны в табл. 2.1.

Диапазон представления абсолютных величин ненулевых чисел имеет вид

0,27-10

- 19

<\А\

:0,92- 10

(2.8)

Граничная относительная ошибка такого представления, согласно формуле (2.6), не превышает величины

2""+;5iO,3-10"". (2.9)