зуется в результате выполнения конечного числа сложений (вычитаний) и умножений двух простых функций: постоянной у = а и линейной у = х.

Добавление к классу целых рациональных функций операции деления полиномов порождает класс дробно-рациональных функций:

В рамках класса выделяют функции: обратной пропорциональности у = а/х, дробно-линейную у = {ах + + Ь)/{сх + d) и нелинейную дробно-рациональную у = = а + Ь/х + с/х". Сложная функция, т. е. вида у = f [il3(ji;)], составленная из дробно-рациональных функций, также принадлежит к этому классу.

Добавление к классу целых или дробно-рациональных функций операции отыскания обратной функции, т. е. X = Ф(у) для у = F{x), порождает класс иррациональных функций. Типичными представителями этого класса являются функция извлечения корня = х" = д/х (обратная для степенной функции У= х") и степенная функция с рациональным показателем у = х, где k = т/п (т, п - взаимно простые числа). Рассмотренные три класса функций в целом образуют более широкий класс алгебраических функций.

Функции, не являющиеся алгебраическими, принадлежат к классу трансцендентных. К ним относятся: показательная у = а{а 0), логарифмическая у = \ogaX, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции. Перечисленные алгебраические и трансцендентные функции образуют множество основных элементарных функций - аналитически заданных в виде единых формул функций, которые получены из основных элементарных с помощью конечного числа алгебраических операций и операций образования сложных функций, причем сами операции, их число и порядок выполнения не зависят от значений аргумента. Все остальные функции называют неэлементарными. Если функция неэлементарна, то число операций над аргументом, либо сами операции, либо те и другие изменяются в зависимости от значения аргумента. Примером неэлементарной функции является факториал: у = п] = 1 • 2 • 3 •... - п. Здесь количество операций зависит от значения аргумента.

Вычисление рациональных и дробно-рациональных

алгебраических функций осуществляется на основе точных аналитических записей этих функций, определяющих количество, тип и последовательность вьшолнения арифметических операций. Для минимизации вычислительных ресурсов аналитическая запись функции может быть эквивалентно преобразована, но в любом случае она остается точной в том смысле, что если точно заданы значения аргумента, точно вьшолнены арифметические операции, то гарантированно получается точное значение функции в виде рационального числа. Аналогичный способ вычисления неприменим в случае трансцендентных функций, так как их аналитическая запись, например у = sinx, не позволяет непосредственно вычислять значение функции по значению аргумента с помощью арифметических операций. Трансцендентные функции определяются, как правило, приближенно на основе таблиц соответствующей точности [8, 58]. Программная реализация табличного вычисления этих функций очень громоздка, поэтому основной способ их вычисления заключается в замене (аппроксимации) исходной трансцендентной функции некоторой другой, алгебраической функцией, близкой к исходной по своим значениям в определенном диапазоне изменения аргумента и вычисляемой достаточно экономичным способом с помощью арифметических операций.

Пусть F{x) - точная элементарная функция; S{x) - ее приближение (аппроксимирующая функция) на интервале X е (а, Ь). Заметим, что аппроксимация выполняется, как правило, не для всей области определения функции, а только для сравнительно небольшой ее части, что облегчает выбор подходящей функции S{x). Для вычисления F{x) на ином интервале могут потребоваться либо другая аппроксимирующая функция, либо специальные формулы перерасчета значений функции с одного интервала ее задания на другой интервал. Замена функции F{x) на S{x) порождает ошибку метода вычисления г(х) = F(x) -S(x). Для оценки точности такого приближения вводят некоторые числовые характеристики ошибки г{х) на (а, Ь) - нормы функции г{х). В качестве одной из таких норм используют равномерную норму - верхнюю границу, аналогичную граничной абсолютной ошибке г{х) < г, где г = max \rlx)\ на (а, Ь). Относительная ошибка метода б(л:) = r{x)/F{x), а граничная д{х)т = = \r/S{x)\.

• Элементарные функции принадлежат к классу функций, точно представимых степенными рядами:

Р(х)=2а,(х-хоУ, (4.1)

где л;о - постоянная величина. Выражение (4.1) представляет собой разложение функции F{x) в степенной ряд по степеням [х - хо). При хо = О ряд (4.1) преобразуется к более простому виду:

F{x)=aix\ (4.2)

Ряд вида (4.2) всегда сходится при х = О, т. е. имеет конечный предел своих частичных сумм. Возможны три случая сходимости этого ряда в других точках: 1) ряд расходится во всех точках, кроме x = 0; 2) ряд сходится во всех точках; 3) ряд сходится в одних точках и расходится в других. Последний вариант типичен. В общем случае область сходимости степенного ряда есть некоторый промежуток- интервал сходимости ( -/?, R), симметричный относительно точки х = О, где R - радиус сходимости. Если ряд сходится во всех точках, то R = оо; если сходится только в точке х=0, то R-O. Для ряда (4.1) интервал сходимости имеет вид {xo - R, хо + R). Элементарные функции представляются степенными рядами, у которых радиус сходимости отличается от нуля, а сумма тождественно равна данной функции всюду внутри интервала сходимости.

Согласно известной теореме [14], если функция разлагается в степенной ряд, то разложение (4.1) единственно и ряд совпадает с рядом Тейлора, расположенным по степеням {х - Хо):

Р(х)=-(х-х,У, (4.3)

где F (хо) - производная г-го порядка функции F{x) в точке х = хо.В формуле (4.3) коэффициенты а; степенного ряда (4.1) определены через значения функции F{x) и ее производных в начальной точке х = хо. Обрывая ряд (4.3) на п-ы члене, получаем полином S„{x) п-и степени: