5п{х)=-{х-ХоУ, (4.4)

который позволяет вычислять значения функции F{x) с определенной точностью, т. е. F{x) х Sn{x). Ошибка метода Гп(х) = F(x) -Sn(x), а г„(х) можно рассматривать как дополнительный член ряда: F(x) = Sn(x)-\-Гп(х).

Если функция F{x) имеет производную (п + 1)-го порядка в некоторой промежуточной точке С е {х, хо), то дополнительный член можно представить в виде остаточного члена в форме Лагранжа:

Гп{х)==-{х-ХоГ+\

который позволяет оценивать сходимость ряда и погрешность метода.

Для сходимости ряда S„(x) при /? > О б интервале {хо - R, хо -\- R) к функции F{x) необходимо и достаточно, чтобы lim/-„(x) = 0 при п-оо в указанном интервале. При сходимости ряда ошибка Гп(х) неограниченно уменьшается по абсолютному значению с увеличением числа членов. Число членов, обеспечивающее требуемую точность, существенно зависит от того, как велико расстояние \х - хо\ от начальной точки хо до точки х. Чем больше это расстояние, тем больше членов приходится брать.

В общем случае полином Тейлора (4.4) пригоден для вычисления F{x) лишь на ограниченном расстоянии от начальной точки. Поэтому при использовании S„(x) для вычисления конкретной функции необходимо четко уяснить ответы на следующие вопросы: пригоден ли S„(x) для вычисления F{x) на данном расстоянии \х - хо\ от начальной точки хо, и, если пригоден, то сколько членов надо брать для достижения требуемой точности? Ответы на эти вопросы дает исследование остаточного члена в форме Лагранжа. Однако его далеко не всегда удается получить в аналитическом виде. Для знакочередующегося сходящегося ряда оценка остатка может быть выполнена по признаку Лейбница: остаток имеет знак своего первого члена, и абсолютная величина остатка меньше абсолютной величины первого его члена [45].

В качестве иллюстрации применения полинома Тейлора вычислим показательную функцию у = е[14\ Все ее производные совпадают с самой функцией: i/" - е". При-

мем точку хо=0 за начальную. Тогда е" = 1 и 1.

Следовательно, функция представляется полиномом Тейлора [с учетом выражения (4.4)] вида

-=2i- = +-- + i- + -+ „I (4.5)

£=0

Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

"W=-rf)r". (4-6)

где О < с < х; е° = \ е". Определим пригодность выражения (4.5) для вычисления у = 6" в точке х= 1/2. Таккак2<е<3,тое/<2ие"<2 (О < с < 1/2).С учетом этого формулу (4.6) можно записать так:

l-WI<=7;(ir=7. (-7)

Величина при п-оо. Следовательно, многочлен

(4.5) пригоден для вычисления у = е с любой точностью. Пусть необходимо обеспечить точность суммы до 4-го десятичного знака, т. е. Д =0,5- 10". Подставляя в неравенство (4.7) последовательно значения п= 1, 2, получим следующие значения г: ri = 1/2! • 2 = 1/4 = 0,25; ,-2= 1/3! •2 = 1/24! 0,4. Ю-; гз = 1/4! • 2 = 1/192 »

» 0,5 • 10-2; ,-4 = 1 /5! • 2* = 1 /1920 0,5-10-Г5 = 1 /6! X X 2 = 1/23040 X 0,4 • 10"*. Для обеспечения заданной точности с запасом достаточно взять первые б членов выражения (4.5). Аналогично определим пригодность выражения (4.5) для вычисления у = 6" в точке х=1. Поскольку 1 =е<е"<е<3, то г(х) < г = 3/(п-+1)! и гО при оо. Значит, и в этой точке возможно вычисление функции у = е с любой точностью. Для обеспечения той же точности Д = 0,5-10~ необходимо взять уже 8 членов. На рис. 4.1 изображены графики функции у = 6" и ее многочленов Тейлора. Из рисунка видно, что с ростом числа членов аппроксимирующего полинома растет его «близость» к исходной функции на большем участке графика.

Полином Тейлора дает наилучшее приближение вычисляемой функции в малой окрестности точки х = хо, но его погрешность быстро возрастает по мере удаления от

Puc. 4.1. Графики показательной функции и ее многочленов Тейлора

ЭТОЙ ТОЧКИ, что требует для обеспечения заданной точности существенного увеличения числа членов полинома и соответственно затрат памяти и времени на его программное вычисление. Поэтому данный метод аппроксимации элементарных функций применим при относительно невысоких требованиях к точности и диапазону аргументов вычисляемых функции. При более высоких требованиях необходимо использовать иные способы приближений функции, в частности наилучшие полиномиальные приближения (в смысле наименьшей нормы), обеспечивающие более быструю и равномерную сходимость на заданном интервале, чем полином Тейлора. Однако рассмотрение этих и других методов выходит за рамки книги.

Далее будут приведены конкретные алгоритмы и программы вычисления некоторых основных элементарных функций и факториала. Все входные, промежуточные и результирующие данные представлены в коротком формате двоичного числа с плавающей запятой (см. рис. 2.3, а). Программы используют подпрограммы арифметики с плавающей запятой, рассмотренные в гл. 2. Двоичные значения входных и десятичные значения выходных тестовых данных получены с помощью подпрограмм ППЗЮ и ПДП32, описанных в гл. 3.