Классическая логика

Чем занимается наука логика? Это теория, которая учит, как нужно правильно рассуждать, правильно делать умозаключения и выводы, получая в результате верные (правильные) высказывания. Поэтому jmrHKa как наука должна содержать список правил получения правильных высказываний. Такой набор правил, умозаключений называется списком силлогизмов.

1.1. Логика выс1сазываний 1.1.1. высказывания

Высказывание - это утверждение об изучаемых объектах, имеюгдее однозначное и точно определенное значение [31, с. 15].

В русском языке высказывание представляет собой повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно сообщает нам нечто верное либо нечто совершенно неверное. Следовательно, высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Иначе

Силлогизм [гр. syllogismos] - умозаключение. У Аристотеля - умозаключение, состоящее из двух высказываний Лш В (посылок), из которых следует третье высказывание С (вывод). Для силлогизма используется символическая запись вида

А, В

говоря, каждому высказыванию приписывается истинностное значение. В классической (двузначной) логике рассматривается всего два истинностных значения: Т - «истина» и L - «ложь».

Еош даны два высказывания и В, то логика, во-первых, говорит нам, как из них построить новое высказывание, а во-вторых, учит, как найти его истинностное значение. Для построения новых высказываний используются логические связки &, V, =>, -О и -и

ALB, ЛУВ, ЛВ, До В, -пЛ, -В.

Связка & интерпретируется как союз «и», связка V - «или», связка как глаголы «следует», «вытекает», связка - «тогда и только тогда, когда» и, наконец, понимается как отрицание высказывания Л («не Л»).

Для установления истинностного значения нового высказывания применяют истинностные таблицы:

Логическая наука, занимающаяся высказываниями, называется алгеброй высказываний. Название это становится понятным, если связку & назвать произведением, а V - оюжением. Мы как бы перемножаем и складываем высказывания.

1.1.2. основные законы логики

Классическая логика, как наука о правильных умозаключениях, основывается на следующих четырех законах.

Закон тождества (Аристотель). h (ЛЛ)

Таблицы истинности введены австрийским логиком Витгенштейном. Знак 1= следует понимать как фразу «истинно, что». Знак придуман американским логиком С.К.Клини в 1956 году.

Закон непротиворечия* (Арисяотель).

Закон исключенного третьего (Аристотель).

Закон достаточного основания (Лейбниц). Никакое высказывание Л не может быть принято, если оно не является следствием, полученным в ходе применения силлогизмов из ранее принятых утверждений или строго установленных фактов, выраженных также в форме высказываний.

1.1.3. Логический парадокс Рассела

в конце XIX века в математике, а точнее, в теории множеств была доказана теорема, которая опровергает закон непротиворечия Аристотеля. Покажем, как это было сделано. Пусть дан объект

и = {х -.х х}. Теорема 1.1. = (и € u)&(u и). Доказательство

Докажем, что и € и. Доказательство поведем методом от противного. Предположим, что и ф и. Тогда из определения объекта и следует, что и е и. Получаем противоречие с исходным предположением. Значит, предположение неверно, и верно, что и Е и. Утверждение доказано.

А теперь докажем, что и ф и. Снова применим рассуждение от противного. Допустим, что в действительности и € и. Тогда из определения объекта и следует, что и и. Это противоречит нашему исходному допущению, поэтому в действительности и и. Требуемое доказано.

Теорема 1.1 доказана.

*Чаще этот закон называется законом противоречия. °3нак \ф следует понимать как фразу «ложно, что».