3.2.3. Свойства множества нечетких подмножеств

CnpaBefljmBbi следующие равенства: АП В=ВПА AUB=BUA (АПВ)ПС=АП(ВПС) {AUB)UC=AU{BUC) АП {виС) = {АПВ)и{АПС) А и (J3 П С) = (А и J3) П (А и С) AUA=A АПА=А АПЕ =А AUE = E AU9=A

ADBAUB

AU В = АП В.

Однако

А ПА ft 0 (кроме А=0шш А= Е) AUA=/E (кроме А=0или АЕ),

которые для обычных множеств имеют вид

АП А = 0 АиА = Е

и справедливы.

Таким образом, множество нечетких множеств не является булевой алгеброй (см. § 1.1.7). Следовательно, можно ожидать, что логика, построенная на нечетких множествах, будет неклассической.

Для того чтобы убедиться в неравенствах (3.4), достаточно взять (j,A = 1/2. Тогда

= тт{ л, 1 - Ы = min{l/2,1/2} =1/20 = /i0, и для второго неравенства

/лил =тах{/2л,/л} =

= тах{ л,1-/л} = тах{1/2,1/2} = 1/2 1=це.

3.2.4. Нечеткая логика высказываний

Для того чтобы перейти к нечеткой логике, нужно ввести нечеткие пропозициональные переменные.

Нечеткие пропозициональные переменные а, 6, с,... - это

a=liA{x), Ь=11в{х), с=цс{х), ... (3.6)

При гаком определении переменные а, Ь, с,... начинают принимать

не только классические значения 0,1, но и любые другие из интервала (0,1).

Полагаем, что

0 = (j,fi{x)=0 и 1 = (j,e{x) = 1. Определяем нечеткие логические операции: а & 6= min(a, b),

а У b= max(a, b), -1 а= 1- а .

Мы можем теперь ввести понятие нечеткой формулы:

1) пЕЧЕшкая пропозициональная ПЕрЕМЕнная Есть (атюмарная) нЕЧЕткая формула;

2) если Л и В неЧетгеие формулы, то (Л&сВ), {ЛУ В), {Л В) нечетгеие формулы;

3) если Л НЕЧЕткая формула, то -lA нЕЧЕткая формула. CnpaBefljmBbi тождества:

а к b=b к а

аУ Ь=ЬУ а {а к Ь)к с =а к{Ь к с) (а V b)V с =а V(b V с) ак{ЬУ с) = {акЬ)У{ак с) а У{Ь & с) = (а V Ь)&(а V с)

а У а =а

~ ~ ~ (3.7)

а & а sa

а kl =а

а VI S 1

а V0 =а

-1-1 а =а -i(a & 6) = -1 а V-1 Ь -i(a V Ь) = -1 а &-1 Ь .

Однако

а &-1 а фо (кроме а= О или а= 1)

~ ~ ~ ~ (3.8)

аУ-1аф1 (кроме а= О или а= 1).

Таким образом, нечеткая логика высказываний не является классической.