Верхняя А„а и нижняя Айн границы интервала, в котором с заданной вероятностью Р\ находится инструментальная погрешность, определяются соотношениями:

А„в = 6 + , [ о?, + 0?обн + (I /12)( я!; Ч-1")

А„„ = е - ,[ 0е + al,„ +{1/[2){Hi+

(3.5) (3.6)

где t\ - коэффициент, зависящий от выбранного значения вероятности Рд и закона распределения погрешности А„.

Точное значение tu соответствующее заданной вероятности Рд , можно определить, только зная закон распределения погрешности А„ - композицию законов распределения всех составляющих общей погрешности. Если композиция неизвестна, то согласно ГОСТ 8.009-84 значение ti можно приближенно определить графически (сплошная линия на рис. 3.4). Штриховой линией на рис. 3.4 показано значение t, определенное для гауссовского закона распределения погрешностей. Как следует из графика, приближенно можно считать tit.

Из-за неопределенности реального вида закона распределения погрешностей найденное по графику значение t\ является приближенным. Возможные значения t\, соответствующие различным встречающимся на практике одномодальным законам рас-; пределения, ограничены заштрихованной областью. Из рис. 3.4 ; следует, что зона неопределенности ti составляет от 7 % при Рд =0,9 до 30 % при Рд =0,99.

Соотношение между СКО различных составляющих общей погрешности зависит от вида рассматриваемых средств измерений. Если некоторые составляющие мало влияют на общую погрешность, то их можно не нормировать. Так, иногда не нормируют случайную погрешность е или ее составляющие Всоб и е„. Числовые характеристики систематической погрешности нормируют всегда.

Пример 3.4. Определим границы инструментальной погрешности при Рд =0,95 для вольтметра в нормальных условиях эксплуатации.

Метрологические характеристики вольтметра: § = 0,008 В; оя = 0,002 В; а,„б „ = 0,003 В; Я„ = 0,001 В; р, = 0,001 В, Как следует из (3.11) и (3.12)

Д„в = 0,008 + 1,96(0,002 + 0,003 + (0,001 +0,001)/12 / = 0,0151 0,9 0,S5 0.99 «0,015 В; А„„ = 0,0009«0,001 В.

Заметим, что с учетом неопределенности коэффициента 1], найденного

t,.t 2,8

по рис. 3.4, эти границы могут быть несколько шире. Так, при предельном значении (,s=2,3 для заданной вероятности Рд =0,95 Д„в = 0,016 В; Д„„ = 0.

В данном примере вклад в общую погрешность погрешностей из-за вариации показаний и конечной цены деления оказывается очень малым, поэтому эти две составляющие можно было бы не нормировать.

Указанная методика позволит рассчитать погрешность в нормальных условиях эксплуатации. Выход влияюших величин за пределы нормальной области значений приводит к изменению составляющих инструментальной погрешности. Эти изменения учитывают, вводя функции влияний, определяемые экспериментально или расчетным путем для каждой из составляющей инструментальной погрешности. Например, в рабочих условиях математическое ожидание систематической погрешности

где К{Ь~\ы) -функция влияния, Ki - постоянный коэффициент, , - значение влияющей величины в рабочих условиях эксплуатации, ,„ - номинальное значение влияющей величины, / - число учитываемых влияющих величин.

Подобным же образом рассчитывают и другие составляющие. Границы инструментальной погрешности вычисляют по формуле, аналогичной (3.12), где составляющие рассчитаны для рабочих условий.

Достоинства и недостатки метода. Рассмотренный метод позволяет определять погрешность средств измерений, учитывающую статистические свойства ее отдельных составляющих. Эта погрешность более полно, чем оценка по пределу допускаемого значения, отражает метрологические свойства средств измерений.

Однако из-за неопределенности задания истинного закона распределения общей погрешности средств измерений протяженность интервала, в который попадают значения погрешностей средств измерений, определяется со значительной погрешностью, достигающей 30 % при Рд =0,99.

В интервал, ограниченный пределами А» и Д„, с заданной вероятностью Рд попадают значения погрешностей, полученных перебором всех средств измерений данного типа. Но для конкретного экземпляра эта оценка может быть сильно завышена или занижена. Например, погрешности средств измерений с наименьшими систематическими погрешностями, описываемые плотностями вероятности Pi и рз (см. рис. 3.2), будут группироваться в средней части интервала, так что для данных экземпляров средств измерений реальный интервал значительно меньше вычисленного. В то же время значения погрешностей средств измерений, описываемых законом распределения р„, будут попадать за пределы интервала с вероятностью, значительно большей заданного значения Рд .

Этот недостаток - неизбежное следствие самой постановки задачи нормирования одним интервалом погрешностей средств измерений данного типа с различными систематическими погрешностями.

Основной недостаток нормирования погрешности статистическим методом состоит в необходимости громоздких измерений и расчетов при нормировании погрешностей, что возможно только на основе применения средств автоматизации при выпуске и поверке средств измерений. Выполнение такого нормирования сильно усложняется из-за влияния прогрессирующей погрешности. В настоящее время к нормированию погрешностей статистическими методами прибегают редко.

Другие методы оценки погрешностей. Рассмотренная методика оценки одним числом, например Авн, неизбежно приводит к потере информации о систематической и случайной составляющих погрешности, отраженных в нормируемых метрологических характеристиках средств измерений. От этого недостатка свободны существующие методы выражения погрешностей, в которых погрешность оценивают несколькими параметрами.

Наиболее полную характеристику систематической и случайной погрешностей дают их законы распределения р(%) и р{г), выраженные в виде формул или таблиц. Менее полную характеристику дают, например, верхняя 8в и нижняя Э„ границы систематической погрешности в сочетании с характеристиками случайной погрешности, заданной законом распределения или нормированным законом и СКО. Если показание прибора составляет 1,326 В, то результат записывают в форме: 1,326 В, 9 от 1 мВ до 2 мВ, Рд=0,95; 6,= 1 мВ, норм.

Несколько иной метод нормирования погрешностей рекомендован 70-й сессией Международного комитета мер и весов в 1981 г. Все погрешности рекомендуется делить на две группы: А, оцениваемую статистическими методами, и В, оцениваемую другими методами. Способ получения статистических характеристик погрешностей группы А - многократные наблюдения нли анализ по множеству средств измерений. Следовательно, к группе А относятся случайные погрешности. Погрешности группы В неслучайны, их значение неизвестно, но обычно заданы их границы. Такие погрешности моделируют как случайные величины и оценивают СКО, которое обозначают и. Вид модели устанавливают с учетом всех знаний о погрешности.

Рассмотренный подход имеет много общего со статистическим нормированием погрешностей, но сделан акцент на необходимости раздельного учета случайной и других погрешностей, имеющих неслучайный характер.

3.5. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Анализ погрешностей косвенных измерений в большинстве случаев заключается в расчете числовых характеристик погрешности определения измеряемой величины по заданным характеристикам погрешностей измерений аргументов.

Основные соотношения. Косвенные измерения заключаются в расчете истинного значения измеряемой величины Y = f{X, Х2:

Хп) по истинным значениям аргументов Xi{i=l, 2..... п).

В ходе эксперимента получают результаты х, измерений аргументов, связанные с истинными значениями соотношением Х,= = х, - Ai, где Л, - погрешность измерения х,. Следовательно,