у -A = /(xi-Ai; X2 -A2; x„ -A„),

где у - результат косвенных измерений, А - погрешность.

Если погрешности малы по сравнению с соответствующими результатами, т. е. А,/х,<С 1, то можно воспользоваться разложением в степенной ряд, ограничившись членами, содержащими погрешность не более чем во второй степени

-А = /(х.;х,;...;х„)-2()а,.-

Отсюда следует, что результат измерений

1/ = /(х,;х2;...х„), (3.7)

а погрешность

A = S(i). + 42(f)Af +

+ 2(4)- м

i= 1;К/

Для определения систематической погрешности полученной оценки возьмем математическое ожидание от правой и левой частей равенства. Поскольку математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, то

*" = 2()s + +S(4)Af +

+ 2 (Д-)4. (3-9)

1= I ;i</

Подставляя сюда А, = 6,-(-8, и учитывая, что А = 6; А, = 9,; Af=

= e- + 2e,E,-f ef= 0,-f 0, и АД = (е, + е,)(е, + Б,) = в,е, + 0,.0,т,„

получаем:

+ 2 ()(е,е, +(т,а,г,), (3.10)

где r,, = 8,e,/0,0, - коэффициент взаимной корреляции погрешностей е, и gj. Для линейной функции f{xi, xi, х„) вторые и смешанные производные равны нулю, и поэтому

= 2(f) ft- (З-П)

Допустимость использования этого соотношения для нелинейных функций можно оценить, вычислив поправку

,=ii(f)(e?+o3 +

+ 2 ()(в,в,- + а,-а;г,) (3.12)

И сопоставив ее со значением 6.

Заметим, что поправка зависит не только от систематических погрешностей, но и от СКО случайных погрешностей измерения аргументов х,. Даже при отсутствии систематических погрешностей поправка может отличаться от нуля и уменьшается с уменьшением погрешности.

Пример 3.5. Пусть у = х, а погрешности прямых измерений значения х=1 составляют а, = ах = ОЛ. В данном случае производные dy/d)c=2x, dy/d)? = 4.. Систематическая погрешность 9 = 2-0,1=0,2. Поправка (/ = 0,5-2(0,01-1-0,01) = = 0,02 составляет 10 % от систематической погрешности и оказывает незначительное влияние на общую погрешность.

Как правило, при использовании современных-средств измерений, обеспечивающих относительную погрешность менее 10... ...10, поправку можно не учитывать и систематическую погрешность рассчитывать по формуле (3.12).

Для оценки случайной погрешности результата косвенных измерений вычтем (3.9) из (3.8) и, пренебрегая членами, содержащими погрешность во второй степени, получаем:

Возведем полученное равенство в квадрат и определим математическое ожидание от левой и правой частей:

1=1 ;i<;

откуда

(=1 i"=l;i<j

Для некоррелированных погрешностей

o = 2()of. (3.14)

Заметим, что законы суммирования средних квадратических отклонений справедливы при любых законах распределения случайных погрешностей.

Частные случаи вычисления погрешностей. Погрешность суммы. Пусть зависимость у от х, имеет вид суммы:

у = 2 UiXi. (3.15)

Подставив частные производные df/dxi = ai в (3.11) и в (3.13), получим

9=2а;9ь (3.16)

о=2а?0 + 2 2 aiajOiOjrij. (3.17)

1=1 i=l;i</

Для некоррелированных погрешностей

о=2а?о?. (3.18)

Погрешность произведения. Рассмотрим функцию вида

y=лx:x:..x (3.19)

Подставив в (3.16) частные производные

-= с£(ЛХ ...X ... Хгг = -у

и поделив правую и левую части на у, получим

е V

(3.20)

где 9/у и 9,/Xi - относительные систематические погрешности измерения у и х, соответственно.