среднее квадратическое отклонение вычислим согласно (3.13):

Поделив правую и левую части на у, получим более удобную формулу записи:

y=i:(iyi + 2 2 а,а,у,у;г,„ (3.21)

1=1 1=1 ;1</

где у, = Oi/Xi и у = 0/у - относительные СКО результатов измерений у и Xi соответственно.

Если погрешности не коррелированы, то

(3.22)

Пример 3.6. По результатам прямых измерений емкостей С2= 102,3 пФ и С = 94,8 пФ определена емкость С=С2 - С\. Найдем погрешность измерений емкости С, если заданы составляющие погрешностей измерений С2 и С\. Систематические погрешности 92 =1,1 пФ; 91 =0,9 пФ; СКО случайных погрешностей, подчиненных гауссовскому закону, аг =0,5 пФ; а, =0,5 пФ. Коэффициент корреляции л12 = 0.

Согласно формулам (3.16) и (3.18) систематическая погрешность 9р = = 9(72 -9с1 =0,2 пФ, а СКО случайной погрешности Oq =(02 ~с\ ) «0,71 пФ.

Исправленный результат C - Qq =7,3 пФ. Для вероятности Яд =0,95 <=1,96 и .i„ii = 1,96-0,71 « 1,4 пФ. Результат измерений (7,3+1,4) пФ. Относительное значение СКОизмерения разности С = С2 - С\

(а,+ау (4, + ау Yc= с,-С, = С

возрастает с уменьшением разности. При малых разностях C2«Ci и можно принять 01 =0с2 • Тогда 7р=у(,, C1V2/C, где CiV2/C>l.

Так, в рассмотренном примере ус\ ~Ус2 ~0,5 %, а СКО результата ус = 1 = 9,4 %, т. е. возросло почти в 20 раз по сравнению с у . i

Из-за роста погрешностей измерений малых разностей к их измерениям ста- ; раются не прибегать. I

При измерениях разностей на СКО результата сильно влияет коэффициент корреляции л12. Если, например, 01=02 и Г\2=\, то 0(; = (0с]+о2 ~ - 2002)=0,-02=0. Это связано с тем, что в данном случае значения! случайных погрешностей ei и гг измерений C и Ci одинаковы и поэтому при вычитании компенсируются. ;

Пример 3.7. По результатам прямых измерений напряжения = 1,21 В и сопротивления Л = 980 Ом косвенным образом измерена мощность P=U/2R-Определим погрешность измерений, если заданы систематические погрешности 9;; =0,08 В и 9;j =10 Ом измерений U и R и СКО случайных погрешностей,;

подчиненных гауссовскому закону, =0,11 В; о =2 Ом. Результаты измерений не коррелированы.

В данном случае зависимость Р= U{2R) является произведением, поэтому следует воспользоваться формулами (3.20) и (3.22). Относительная систематическая погрешность измерений мощности вр/P = 2Qu/U - Q R = 0,\2. Относительное СКО ур =(4у +7 )"=0,13. Мощность P=U\2Ry=0,747 мВт. Абсолютные погрешности 6 = 0,122Я = 0,057 мВт, 0;, =0,1287,, =0,00956 мВт. Исправленный результат P - Qp =0,390 мВт; погрешность Лвн = 1,9б0р =0,025 мВт. Результат измерений 0,390 + 0,025 мВт; Яд =0,95.

Пример 3.8. Индуктивность контура L связана с резонансной частотой Шр, резонансной емкостью Ск и собственной емкостью Со катушки индуктивности соотношением 1 = [ыр{Ск + Со)] Формулы для вычисления систематической погрешности и СКО можно получить, используя общие соотношения (3.11) и (3.13). Однако в данном случае проще представить исходное соотношение в виде t = (mp/l), где Л = Ск + Со. Отсюда согласно (3.20)

2 -

где 6/1 можно определить по формуле (3.16): 6 =9с. +с„ Относительное СКО у1 =у1 + уа , где у1 =0 /А = {о1 +0„ )/(С. + С„>.

Погрешность при неявном задании измеряемой величины.

В некоторых случаях измеряемая величины у задана в неявном виде [{у; xi...x„) = 0, и ее обычно определяют численными методами. Погрешности измерения можно проанализировать, не находя точного значения измеряемой величины. Для этого возьмем полный дифференциал от функции;

Отсюда

-=-2(1.)-

i= I

Пользуясь общими формулами (3.11) и (3.13), получаем

(dl/dyf

ЦгУ+ 2 ()(t).v.

L i=i i=\:i<i / \ </ J

Для вычисления производных в данном случае необходимо знать не только результаты прямых измерений х,, но и приближенное значение измеряемой величины.

Пример 3.9. В линейном диодном детекторе угол отсечки 6 связан с сопротивлением нагрузки R и крутизной диода S соотношением tg9 - 6 = n/RS.

откуда

Полный дифференциал Д(----И = - л( ---\---],

\ cose } \R SV

Естественно, что для расчета погрешностей необходимо знать-приближенное значение угла отсечки.

3.6. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПО ПОГРЕШНОСТЯМ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Погрешности косвенных измерений необходимо рассчитывать не только при проведении косвенных измерений, но и при оценке погрешностей ИВК, работа которых основана на проведении определенных вычислений. Во многих случаях исходными данными для расчета погрешностей являются нормируемые метрологические характеристики средств измерений. По этим характеристикам с учетом методических погрешностей следует определить погрешности измерений параметров х, - исходные данные для расчета погрешности косвенных измерений. Методика расчетов зависит от формы задания метрологических характеристик средств измерений.

Погрешность, нормированная допускаемым пределом. В этом случае параметры л:, заданы согласно (3.3) или (3.4) в виде исправленных результатов и симметричных границ интервала ±Аш, в пределах которого лежит погрешность.

Оценку измеряемой величины рассчитывают по формуле (3.7), подставляя в нее вместо х, исправленные результаты х„а:

Рассмотренная в § 3.5 методика позволяет оценивать погрешность измерений у только в случае, если заданы систематические погрешности измерений параметров х, и СКО случайных погрешностей.

Если параметры х, измеряют приборами, для которых нормированы пределы допускаемых погрешностей, то погрешности измерений параметров оценивают предельными погрешностями Дп1, в которых учтены инструментальные и методические погрешности. Как указывалось, погрешности Дп, являются оценками