9 = 5 мВ, ое = 3 мВ, Особ п = 4 мВ, /y„ = i=l мВ. Оцените необходимость учета отдельных составляющих. В каких пределах могут изменяться границы погрешности с учетом неопределенности задания закона распределения общей погрешности?

7. Определите погрешности по (3.23) и (3.24) и запишите результат косвенных измерении сопротивления

Р = .

2nfC Q,-Q,

если частота / = 32,0 МГц задана с погрешностью „f = 0,3 МГц; емкость С = 42,6 пФ - с погрешностью Л;,с = 0,7 пФ, добротность Qi = l22 - с погрешностью А„(51=6, добротность (?2==95 - с погрешностью A„q2=5.

Указание: прн выводе формулы для вычислений погрешности косвенных измерений исходное соотношение следует рассматривать как произведение.

8. Получите соотношение для расчета предельной погрешности определения резонансной емкости последовательного колебательного контура, вызванной неточностью фиксации резонансного напряжения. Можно считать, что напряжение иа конденсаторе U = Uf{\+1), где g = Q(Cp -С)/Ср, Lp - резонансной напряжение на конденсаторе, С - емкость конденсатора, Q - добротность контура, Ср - резонансная емкость.

9. Запишите результат измерений резонансного значения емкости последовательного колебательного контура с учетом методической погрешности из-за неточной настройки в резонанс. Резонансная емкость Ср = 64,7 пФ задана с пределом допускаемой погрешности Д„(,=0,5 пФ, добротность контура Q = 20, резонансное напряжение иа конденсаторе 20 В, разрешающая способность вольтметра 0,5 В.

10. Добротность Q последовательного колебательного контура измерена по двум значениям емкости Ci и d емкости контура, взятым при расстройке контура до уровня напряжения иа конденсаторе 0,707 от резонансного; Q = = (С + С2)/(С -С2). Емкости С = 104 пФ и С2=108 пФ определены с предельной погрешностью бпс = 1 % Методическая погрешность из-за неточности фиксации заданного уровня пренебрежимо мала. Запишите результат измерений в форме границ Q -и Q + A„q, в которых находится истинное значение добротности.

Определите границы добротности непосредственной подстановкой в формулу для расчета Q предельных значений емкостей в наименее благоприятных сочетаниях. Сравните граничные значения с полученными ранее и объясните причину различия.

И. К генератору гармонического напряжения с ЭДС £=1,000 В и частотой /=1,170 кГц подключена /?С-цепь. Напряжение на конденсаторе измеряют вольтметром В7-16, его показания 6 = 0,686 В на шкале U = l В; Р= 10,00 кОм. Запишите результат измерений емкости, если параметры Е, f а R заданы с пределом допускаемой погрешности 0,1 %. Оценку погрешности вести по (3.24).

Указание: для учета методической погрешности из-за шунтирующего действия вольтметра на цепь следует методом эквивалентного генератора преобразовать измерительную цепь в эквивалентную ЯС-цепочку.

г л а в а 4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

К статистической обработке прибегают для повышения точности измерений с многократными наблюдениями и определения статистических характеристик случайной погрешности.

4.1. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

Методика обработки результатов измерений с многократными наблюдениями зависит от свойств погрешностей. Например, если погрешность за время измерений описывается стационарным случайным процессом, то эту стационарность сле.дует контролировать. Нестационарность процесса чаще всего может проявляться в форме изменений математического ожидания - систематической погрешности. Поэтому в ходе обработки данных необходимо убедиться в отсутствии ухода систематической погрешности.

Результаты измерений не должны содержать грубых погрешностей, которые исключают из расчетов. Для правильного выбора алгоритма обработки результатов наблюдений необходимо знать закон распределения погрешностей, который оценивают по экспериментальным результатам.

Требования к оценкам статистических характеристик. По результатам многократных наблюдений - выборке х\, Х2, х„ - при конечном числе опытов п можно получить не сами числовые характеристики погрешностей, а их оценки, являющиеся случайными величинами. В зависимости от способа обработки выборки оценки могут быть разными. Например, в качестве оценок математического ожидания результатов измерений можно взять один из результатов, среднеарифметическое выборки или полусумму наибольшего и наименьшего значений выборки. Естественно, что статистические характеристики этих оценок будут отличаться.

Наиболее преемлема оценка, обладающая свойствами состоятельности, несмещенности и эффективности. Состоятельность заключается в том, что оценка сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Несмещенность означает, что математическое ожидание оценки должно быть равно оцениваемому параметру. Эффективной считают оценку, дисперсия которой наименьшая среди дисперсий других оценок. В дальнейшем оценки будут обозначаться знаком /\. Так, оценка математического ожидания X, оценка СКО а.

Выбор оценок зависит от априорных (доопытных) данных о погрешности и измеряемой величине. Если задан вид плотности

вероятности погрешности и измеряемой величины, то пользуются байесовскими оценками. К ним, в частности, прибегают при обработке радиолокационных сигналов. Если сведения об измеряемой величине отсутствуют, но известна плотность вероятности погрешности, то оценки определяют методом максимального правдоподобия. Такие оценки асимптотически (при поо) состоятельны, несмещены и эффективны. Однако при выборке конечного объема они могут и не обладать перечисленными свойствами.

Если неизвестны законы распределения погрешности и измеряемой величины, то можно применять устойчивые к изменениям статистических характеристик сигнала и погрешности (робастные) оценки. Далее будем рассматривать только оценки максимального правдоподобия.

Обнаружение ухода систематической погрешности. Сушест-вует несколько способов обнаружения изменяющейся во времени систематической погрешности. Так, можно воспользоваться методом контура или методом наименьших квадратов, которые рассмотрены в § 4.8. Эти методы позволяют не только обнаруживать сам факт непостоянства, но и определять зависимость систематической погрешности от времени, что позволит в дальнейшем ее исключить. Существуют и методы, позволяющие только обнаруживать изменения погрешности, но не дающие количественной оценки изменений.

Если систематическая погрешность изменяется монотонно, то применяют критерий тренда. Его сущность заключается в следующем. Пусть получена последовательность из п независимых результатов многократных наблюдений х\, Х2, .., х„, характеризуемая неравенствами вида х,> х/, где /</. Каждое неравенство называют инверсией. Общее число инверсий

/1=2 л, (4.1)

где Ai= 2 - число инверсий для х,,

i=i+i

( 1 при х, """t о при Xi

Если последовательность наблюдений не содержит медленных изменений систематической погрешности, то число инверсий - дискретная случайная величина с плотностью вероятности р{А), зависящей только от и, и математическим ожиданием Л=0,25« («-1). При п-оо закон распределения для числа инверсии нормализуется.

Если по результатам эксперимента получена выборка, то возможны два взаимоисключающих варианта: тренда нет или