Таблица 4.1. Границы /1„ и Л, интервалов для числа инверсий при заданной

вероятности а

тренд есть. Проверим гипотезу Но о существовании тренда, если в действите,дьности он есть. Для этого на графике р{А) выбирают нижнюю Л„ и верхнюю Лв границы критической области Л </1н или Л>Лв. Вероятность а попаданий числа инверсий в критическую область называют уровнем значимости и выбирают малой: от 0,0! до 0,1. Границы устанавливают так, чтобы вероятности событий А <Л„ и Л>> Лв были одинаковы и равны а/2 (табл. 4.1).

Вероятность попадания числа инверсий в критическую область - событие маловероятное, поэтому такое событие можно рассматривать как признак существования тренда и принять гипотезу Но с уровнем значимости а. Однако такой выбор может быть ошибочным. При наличии тренда из-за случайного характера инверсий экспериментально полученное значение Л может попасть в область между границами, а не в критическую область. В этом случае мы должны принять гипотезу об отсутствии тренда, т. е. отвергнуть верную гипотезу Но. Это ошибка первого рода, ее вероятность падает с уменьшением а. Ошибка второго рода возникает в случае принятия неверной гипотезы, например, если в действительности тренда не было, но результат попал в критическую область и мы приняли гипотезу о наличии тренда.

Если результаты наблюдений не содержат ухода, то с вероятностью Я = 1 - а общее число инверсий Л оказывается в пределах Л„...Лв. Если в ходе наблюдений систематическая погрешность увеличивается, то в среднем увеличиваются и последующие результаты по сравнению с предыдущим, а следовательно, уменьшается число инверсий. Уменьшение же систематической погрешности в ходе наблюдений вызывает увеличение числа инверсий. Если число инверсий Л окажется вне интервала Лн...Лв, выбранного для данной вероятности Р, то считают, что существует достаточно оснований для принятия гипотезы об уходе систематической погрешности.

Пример 4.1. Пусть получены результаты десяти измерений с многократными наблюдениями: д:1 = 3,1; д:2 = 3,8; д:з = 2,7; д:4 = 3,3; д:5 = 3,7; д:б = 4,4; д:7 = 3,6; л:в = 4,1; а:9 = 2,6; х,о = 3,Ь.

Для расчета числа инверсий каждое значение л:, следует сравнить со всеми последующими значениями. Для первого результата xi неравенство х\> Xf будет наблюдаться в двух случаях: Х\> Хз и Xi> Хд, следовательно, число инверсий Л] =2. Задавшись значением х,, получим, что Х2> Хз; Х2> Xt; Х2> xs; Х2> Xj; Х2> х<); Х2> Хю, откуда число инверсий Л2 = 6. Продолжая анализ последовательности, получаем: Аз=\; Л4=1; Аь = 3\ Лб = 4; Л7=1; Аа = 2; Ас, = 0. Общее число инверсий Л = 21.

Из табл. 4.1 следует, полученное значение Л = 13 попадает в интервал Л„ = = 11, Л, = 33. Следовательно, с уровнем значимости а = 0,05 можно принять гипотезу об отсутствии ухода систематической погрешности.

4.2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ФОРМЫ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Экспериментальные исследования погрешностей средств измерений различных типов показали, что существует много законов распределения погрешностей, причем часто они существенно отличаются от гауссовского. Поскольку знание реального закона распределения необходимо для выбора методики получения оценки измеряемой величины, то в необходимых случаях приходится выбирать закон распределения, в наибольшей мере соответствующий экспериментальным данным - идентифицировать форму закона распределения.

Гистограмма. Исходные данные для выбора закона распределения получают из гистограммы. Для ее построения по результатам многократных наблюдений строят вариационный ряд - располагают результаты в порядке возрастания и выбирают минимальное Xl и максимальное х„ значения - крайние члены вариационного ряда. Отрезок х„ - х\ между ними делят на т интервалов одинаковой протяженности d. Интервалы ограничены значениями Xi и где Xi = Xi-\-{i- l)d; Xi+[=xi4~id (/=!, 2, ni+l). Заметим, что верхняя граница последнего интервала Хт + 1=х„. По вариационному ряду определяют число я, результатов, попавших в каждый интервал, а затем вычисляют относительные частоты rii/n.

Относительные частоты являются оценками вероятности р, попадания результатов в данный интервал, т. е. pi = ni/n. Нормированные по ширине интервала относительные частоты ni/nd могут служить оценкой среднего значения плотности вероятностей на интервале. Границы интервалов откладывают на числовой оси, а на каждом интервале строят столбик высотой ni/nd. По совокупности столбиков оценивают форму изменения плотности вероятностей. В пределе при поо и й->0 гистограмма превращается в плавную кривую.

Пример 4.2. Построим гистограмму для пятидесяти результатов наблюдений, приведенных в табл. 4.2.

3 Зак. 1898 65

Таблица 4.2. Результаты многократных наблюдений измеряемой величины

В данном случае д:1=32; л:, = 78. Для упрощения дальнейших расчетов эти значения округлим до xi=30 н д:„ = 80. Примем число интервалов ш = 20, тогда протяженность интервала d= (80 -30)/20 = 2,5.

Для определения п, по результатам, приведенным в табл. 4.2, воспользуемся простым приемом построения: попавший в данный интервал результат отмечают горизонтальной черточкой. Черточки располагают с одинаковым шагом h по высоте, который выбирают, исходя из удобства масштаба по оси ординат, например /г = 5 мм. По окончании построения высота столбиков в принятом масштабе будет соответствовать значениям гг, в данном интервале. Окончательный результат построения гистограммы приведен на рнс. 4.1, а. Над столбиками указаны числа rii.

Масштаб по оси ординат должен быть таким, чтобы площадь всех столбиков равнялась единице. Столбики состоят из 50 (по числу наблюдений) прямоугольников с одинаковым основанием d, высотой h и площадью dh. Следовательно, высоте одного прямоугольника соответствует плотность вероятностей, равная dh/bO.

tii/nd 0,5

3 3

11 XL

б в

2 2

2 2

I I I

20 I I

3 k 5 6 1 8 Рнс. 4.1