Полученная гистограмма сильно изрезана, что обусловлено случайным характером попаданий чисел п, в интервалы. Изрезанность можно уменьшить, если расширить интервалы. Гистограммы для т = 10 и т = 5 показаны на рис. 4.1, б и в.

Расчет гистограммы на ЭВМ имеет некоторые особенности. Границы гистограммы иногда определяют, исходя из априорных сведений о погрешностях с некоторым запасом. После выбора числа разбиений т и расчета границ интервалов переходят к вычислению Перебор результатов наблюдений требует определенных затрат машинного времени, его можно сушественно сократить, если номер интервала, в который попадает данный результат, определять как частное (х; - х\)/d, значение которого округляют в большую сторону до ближайшего целого. Принятая методика позволяет рассчитывать гистограмму в реальном масштабе времени по мере поступления экспериментальных данных.

Выбор числа разбиений при построении гистограммы. Изрезанность гистограммы можно уменьшить путем укрупнения интервалов. Так, увеличение интервала вдвое приведет к возрастанию Pi приблизительно в два j)a3a, а относительное СКО высоты столбцов уменьшится в 2 раз. Однако с ростом интервала d теряется информация о форме изменения искомой плотности вероятностей, так как сглаживаются его особенности. Так, по гистограмме из трех столбиков любое колоколообразное или трапецеидальное распределение будет оценено как треугольное. Если же взять один интервал, то независимо от формы исходной плотности вероятностей распределение будет сведено к равномерному.

Для каждого вида закона распределения существует оптимальное число интервалов, при котором гистограмма будет в наибольшей мере соответствовать изменению плотности вероятности.

Оптимальное число интервалов в первую очередь должно зависеть от числа наблюдений. Действительно, если принять СКО высоты столбцов не зависящим от числа измерений, то с ростом п число интервалов также должно возрастать. Кроме того, число интервалов зависит от эксцесса. Исследования показали, что для большинства встречающихся на практике законов распределения, включая трапецеидальный, гауссовский, Лапласа, оптимальное число интервалов

яг = 4V£4-31grt/10. (4.2)

Если эксцесс закона распределения неизвестен, но заключен в интервале - 1,2 ... 3, то оптимальное число т лежит от /гг„ = 5,4Х Xlgn/!0 до ягв = 9,8 lgn/10. Область значений т при разных числах наблюдений показана на рис. 4.2.

Выбор интервалов одинаковой длины не всегда целесообразен. Так, на участках быстрого изменения плотности вероятностей или

3* 67

30 -20-

10 Рис. 4.2

30 да*л

в тех точках, где плотность вероятностей меняется скачкообразно, интервалы следует уменьшить. Крайние же столбцы гистограммы можно сделать более протяженными.

Критерии согласия. В большинстве случаев конечной целью построения гистограммы является установление аналитической формы плотности вероятности. Для этого необходимо сначала определить аналитическую модель закона распределения. Выбор модели производят по форме гистограммы. В простейшем случае просто визуально подбирают аналитическую модель, форма графика которой похожа на гистограмму. Таких моделей может быть несколько. Сушест-вуют и аналитические методы аппроксимации гистограммы.

Выбрать наиболее подходящую модель закона распределения позволяют критерии согласия. Рассмотрим в качестве примера критерий Пирсона.

Для расчетов по этому критерию необходимо сначала совместить выбранную плотность вероятностей модели с гистограммой. По опытным данным с помощью соотношений (4.8) н (4.10) вычисляют оценки математического ожидания X и СКО S. Эти параметры определяют плотность вероятности. По плотности вычисляют вероятности р, попадания результатов в каждый интервал:

x~d/2

и вычисляют разности п, - npi.

Пирсон показал, что закон распределения суммы при м>50...100

i= I

с ростом числа наблюдений стремится к закону х, а число степеней свободы L распределения определяется как разность между числом т столбиков и числом связей между результатами наблюдений. В данном случае первая связь заключается в том, что число результатов, попавших в последний интервал, нельзя считать независимой величиной, поскольку оно равно разности между п и числом попаданий в остальные т-1 интервалы. Другие две связи обусловлены числом параметров закона распределения, необходимых для совмещения с гистограммой. В данном случае вычислялись оценки х и s, следовательно, число степеней свободы L = m - 3.

Сумма является мерой расхождения закона распределения и гистограммы. Очевидно, что чем меньше сумма, тем меньше оснований сомневаться в правильности выбора закона распределения.

Таблица 4.3. Значения xl при заданной вероятности

Для оценки соответствия закона распределения и гистограммы выбирают критическое значение х, соответствующее малой вероятности

которую обычно выбирают в пределах 0,01...0,1. Значения х"

ятиости а приведены в табл. 4.3. Если окажется, что хХ«

при заданной веро-то вероятность

такого события мала, поэтому гипотезу о законе распределения отвергают с уровнем значимости а.

Если х<Х« , то гипотезу принимают. Понятие гипотезы означает, что она не противоречит экспериментальным данным. Однако это не позволяет сделать вывод об однозначном соответствии данного закона распределения результатов наблюдений принятому закону распределения. Могут существовать и другие законы, которые также не противоречат гистограмме.

Пример 4.3. Оценим закон распределения экспериментальных данных, приведенных в табл. 4.2 и отраженных на гистограмме (рис. 4.1, в). Сравнивая гистограмму с известными графиками плотности вероятностей различных законов распределения, можно заключить, что для описания гистограммы можно было использовать законы с пологой вершиной, например гауссовский, треугольный или трапецеидальный законы. Примем сначала в качестве математической модели гауссовский закон.

В качестве математического ожидания и СКО естественно принять их оценки д: = 5,466 и s= 1,067. График плотности вероятности построен на рис. 4.3. Результаты дальнейших расчетов приведены в табл. 4.4.

Рис. 4.3

J0 ио 50 60 70 Xi