Таблица 4.4. Расчеты по критерию согласия Пирсона

По данным табл. 4.4

„2 (5 - 3,72) + (12 - 12,37) + (20 - 17,97)" + (9 - 11,66)" + (4 - 3,32)"

3,72 + 12,.37 + 19,97 + 11,66 + 3,32

Задавшись уровнем значимости а = 0,1, из табл. 4.3 определим критическое значение х"а =4,6. Поскольку х"<х"ч , то можно считать, что гауссовский закон с математическим ожиданием i = 5,466 и СКО 1,067 не противоречит экспериментальным данным.

Рассмотрим теперь, в какой мере гистограмме отвечает треугольный закон с такими же математическим ожиданием и СКО. Расчет дает х" = 0,22, так что треугольный закон также можно принять за математическую модель. Вопрос же о достоверном и однозначном выборе закона распределения на основе критериев согласия решен быть не может.

Составной критерий. При числе наблюдений м<50...100 применение критерия х становится некорректным, так как при малык п нарушается одна из предпосылок критерия - нормальность распределения разностей п/ - пр,. Если п лежит в пределах 15...50, то рекомендуется пользоваться составным критерием. Возможности этого критерия значительно уже, чем критерия х", поскольку с его помощью можно оценить соответствие только гауссовскому закону.

Составной критерий заключается в последовательном использовании двух критериев. Критерий 1 состоит в том, что вычисляют параметр

Затем выбирают уровень значимости <? и по табл. 4.5 находят квантили d,/2 и d(i ,/2) распределения случайной величины d для гауссовского закона. Уровень значимости q выбирают в пределах 0,01...0,05. Если не выполняется неравенство dii-q/2)dd/2, то гипотезу о нормальном распределении принимают, в противном случае ее отвергают.

Критерий 2 служит для проверки больших отклонений от среднего. Модули всех разностей {х, - х\ сравнивают с уровнем / где / - коэффициент, соответствующий вероятности Р и определяемый по табл. 2.1. Если не более т разностей превзошли этот уровень, то гипотезу принимают, а если же число разностей превышает его, то гипотезу о нормальном распределении отвергают.

Таблица 4.5. Квантили распределения d

Значения Р определяют из табл. 4.6 по выбранному уровню значимости q, прибегая при необходимости к линейной интерполяции.

Если хотя бы в одном критерии гипотезу отвергают, то считают, что распределение отлично от нормального. Если гипотеза о нормальном распределении принимается в двух кригериях, то ее принимают с уровнем значимости qqi-j-q-

Пример 4.4. С помощью составного критерия оценим принадлежность к гауссовскому закону первых 15 результатов наблюдений, приведенных в табл. 4.2. Расчеты по этим данным дают следующие результаты: 3 = 0,956; s = 1,025; d = 89,35. Выберем для критерия 1 уровень значимости qi=i0,02. Из табл. 4.5, прибегая к линейной интерполяции, для п=5 находим di=0,68, 2 = 0,92. Поскольку неравенство 0,68s;0,89< 0,92 выполняется, то с заданным уровнем значимости q\=0,02 гипотеза о нормальном распределении принимается.

Для проверки по критерию 2 из табл. 4.6 при гг = 15 и уровне значимости (/=0,05 находим Р = 0,98 и т=\. Для гауссовского распределения / = 2,33. Расчеты показывают, что ни один из модулей разностей r, - х\ не превышает уровня ts = 2,39, хотя в соответствии с условиями критерия т=1 и одна разность могла бы превысить этот уровень. Следовательно, гипотезу о нормальном распределении принимают с уровнем значимости q = q\ -\~ q2 = 0,07.

Таблица 4.6. Значения Р

4.3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

В ходе статистической обработки результатов многократных наблюдений иногда выясняется, что некоторые результаты аномальны, т. е. значительно превышают ожидаемую погрешность. Аномальные результаты могут быть проявлением случайного характера погрешностей или особенностей измеряемой величины. Такие результаты следует сохранить для последующей обработки. Однако появление аномальных результатов может быть и обусловлено факторами, не отражающими сущность эксперимента. Например, причиной аномальных результатов могут быть скачки питающего напряжения, вызванные включением в сеть мощных потребителей энергии. Помехи такого типа не в полной мере подавляются стабилизаторами источников питания средств измерений и могут вызывать резкие непредсказуемые изменения показаний. В этом случае считают, что результат содержит грубую погрешность, и его исключают из дальнейшей обработки.

Разработка и анализ методов исключения имеют большое практическое значение, поскольку при использовании сложной измерительной аппаратуры доля аномальных результатов может достигать 10...15 % общего числа измерений.

Обш,ие методы исключения грубых погрешностей. Вопрос об исключении аномальных результатов невозможно однозначно решить в общем виде, поскольку для принятия такого решения необходим тщательный анализ конкретных целей эксперимента, особенностей измерительной аппаратуры и характера поведения измеряемой величины. Особую осторожность следует проявлять тогда, когда исследуются процессы с мало изученными характеристиками.

Иногда основанием для исключения аномальных результатов могут служить эвристические предпосылки, связанные, например, с воспоминаниями экспериментатора о нарушениях условий эксперимента. Если же проведение эксперимента и обработку его результатов осуществляют с помощью ИВК, то необходимы формальные признаки исключения грубых погрешностей.

Рис. 4.4