Наиболее распространенным методом исключения результатов, содержащих грубые погрешности, является цензурирование результатов измерений - исключение результатов, погрешности которых превышают установленные границы цензурирования ±Ха. Грубые оценки границы получают, пользуясь правилом «трех сигма», согласно которому границы цензурирования xia. Для гауссовского закона распределения погрешностей вероятность превышения погрешностью этого уровня составляет 0,0027 (рис. 4.4), и результат с такой погрешностью исключают. При равномерном законе промахами вызваны все результаты, превышающие уровень од/З, поэтому граница оказывается сильно завышенной. Для закона Лапласа вероятность выхода погрешности за пределы ±Зо составляет 0,05, так что такие события нельзя считать маловероятными и исключать результаты неправомерно.

Таким образом, границу цензурирования следует выбирать в зависимости от того, насколько быстро спадает плотность вероятности на краях графика. Протяженность спадающей части графика характеризуют эксцессом, поэтому и граница цензурирования должна быть возрастающей функцией эксцесса.

Если задать определенную вероятность а выхода результатов за границу цензурирования, то очевидно, что число результатов, превысивших уровень границы, будет возрастать с ростом числа наблюдений. Для того чтобы практически все результаты, не содержащие грубых погрешностей, не выходили за границы цензурирования, необходимо сам уровень увеличивать с ростом п.

Границы цензурирования, при которых в среднем из результатов измерений исключается менее одного, определяются соотношением:

Хп = о

l,55 + 0,8V£~+lg(n/10)J , (4.3)

справедливым для гауссовского и равномерного законов распределения, а также закона Лапласа.

Иногда границы рассчитывают по формуле Хц = 0(1--+ l,3Vf+2).

Методика обработки результатов измерений, содержащих грубые погрешности. Для расчета границ цензурирования необходимо знать значения о и Е, вместо которых в формулу (4.3) подставляют их оценки, полученные по результатам наблюдений. При ограниченном числе наблюдений оценки определяются со значительными погрешностями, которые сильно возрастают из-за наличия результатов, содержащих промахи. Вычисленные на основании грубых оценок границы цензурирования могут быть сильно завышенными и служить основанием для ошибочных выводов. Поэтому задачу цензурирования решают методом последовательных приближений, постепенно уточняя полученные результаты.

Сначала определяют оценку математического ожидания методами, устойчивыми к промахам, например, взяв в качестве оценки медиану результатов измерений. Наиболее удаленные от математического ожидания результаты исключают во избежание резкого возрастания погрешностей оценок и рассчитывают границы цензурирования. Если в пределах границ окажется часть отброшенных результатов, то их возвращают в выборку и снова рассчитывают оценки х и о.

Если же среди неисключенных имеются результаты, превышающие границы, то их отбрасывают и снова рассчитывают оценки. Процесс повторяют до тех пор, пока не будут исключены все результаты, содержащие грубые погрешности.

На окончательном этапе обработки выбирают эффективную оценку математического ожидания, для которой определяют окончательные значения х н о.

4.4. МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

Пусть проведено п наблюдений измеряемой величины X и получены независимые результаты хи Х2, Хп, каждый из которых содержит постоянную систематическую погрешность в и случайную погрешность.

Если в качестве оценки измеряемой величины принято среднеарифметическое полученных значения, то

х=2;(Х + в + е,) = + 0 +ve,. /= 1 /= 1

Отсюда следует, что измерения с многократными наблюдениями не приводят к изменению систематической погрешности. Отдельные значения случайной погрешности могут иметь разные знаки, поэтому при суммировании некоторые значения будут взаимно компенсироваться. Можно показать, что дисперсия третьего слагаемого, являющегося случайной погрешностью результата измерений X, уменьшается с ростом п. Следовательно, многократные наблюдения целесообразно применять тогда, когда доминирует случайная погрешность и ее уменьшение может существенно уменьшить общую погрешность.

Принцип максимального правдоподобия. Пусть результаты Xi наблюдений измеряемой величины подчинены закону распределения р{хг, X; а), где X - математическое ожидание, а - СКО. Вероятность появления результата измерений х,

Pi{xi) = p{xi\ X; о)Ах,

где Ах - малый интервал.

Рис. 4.5

Хп Хг Xi Xl

Вероятность появления совокупности независимых результатов Х\, Х2, Хп определяется как произведение вероятностей

Р(х,,Х2,...,х„).= П,р,(х,) = Ах" л, p{xi;X;o).

Параметры А" и о до измерений неизвестны, поэтому их можно рассматривать как переменные. Метод максимального правдоподобия заключается в подборе таких значений X и а, при которых вероятность появления результатов измерений максимальна.

Полученные оценки называют оценками максимального правдоподобия. Их отыскивают по максимуму функции правдоподобия

L{xuX2, ...,х;Х;а) = J\p{xi; X; о),

которая отличается от вероятности P(xi, xs, х„) множителем Ах", не влияющим на решение.

Рассмотрим пример, поясняющий метод максимального правдоподобия. На рис. 4.5 показаны результаты х, многократных наблюдений. Если выбранное математическое ожидание X сильно сдвинуто от центра области, в которой расположены экспериментальные точки (/ на рис. 4.5), то вероятности р,(х,), отображенные столбиками со штриховкой с наклоном налево, будут

lXi-X\

\xi-xl