малы. Очевидно, что в данном случае вероятность Р{хи Х2, Хп) также мала. Если уменьшить математическое ожидание и дисперсию (2 на рис. 4.5), то вероятности р,(х,), отображенные столбиками со штриховкой с наклоном направо, возрастут и соответственно увеличится функция правдоподобия. Изменять X и о следует до тех пор, пока не будет достигнут максимум функции правдоподобия.

Оценки максимального правдоподобия зависят от закона распределения погрешностей. Получим оценки для некоторых часто встречающихся законов.

Вычисление оценок максимального правдоподобия. Для гауссовского закона

функция правдоподобия

L{xuX.2,...,x„;X;o) = (т;;) ехр - - Л).

Если функция правдоподобия содержит сомножители с показательными функциями, удобнее пользоваться логарифмической функцией правдоподобия

lnL(xi, Х2,х„; А"; а) = - - Х) - п\по -1п2л.

В данном случае функция правдоподобия дифференцируема, а ее производные непрерывны в точках х,. Поэтому оценки максимального правдоподобия находят, решая систему уравнений

В результате

х = 2х,-, (4.4)

s=ii(x,.-x) (4.5)

Согласно закону Лапласа

1 к,- - -1V2

р{хи Х2,х„; X; о) = -ехр -

"V2a

Логарифмическая функция правдоподобия

г- "

\x\L{x,X2,...,Xn\X\o) = --21 -Х -п1п(ла)

не дифференцируема в точках х,, и ее максимум нельзя отыскать, приравняв нулю частные производные. Определим максимум функции правдоподобия графическим методом. Для этого сделаем X переменным, заменив его. Семейства зависимостей отдельных слагаемых х,-х от х для четных и нечетных п построены на

рис. 4.6, а и б. Суммируя их, получаем зависимости Sx, -х

от X (рис. 4.6, в и г). Функция правдоподобия достигает максимума, если сумма минимальна. Следовательно, при нечетном п за оценку максимального правдоподобия следует взять медиану вариационного ряда, т. е.

Х=Х(„+1)/2. (4.6)

Для четных п функция правдоподобия максимальна на интервале от х„/2 до х„/2--1. За оценку максимального правдоподобия принимают середину этого интервала

Хп/2 + Хп/2+\\ /2.

(4.7)

!-тг- при aXi О при X, <: а; х,

При равномерном распределении погрешностей

: X, < 6,

где Х = {а + Ь)/2- о = {Ь - а)/2-Д. Функция правдоподобия

L(xi, Х2,х„; X; а) =--.

(Ь- а)"

Очевидно, что все экспериментальные точки должны располагаться в пределах графика плотности вероятностей (рис. 4.7, а), т. е. оценки должны удовлетворять условиям а<х\; Ь>Хп, где Xi и

Xn-Xf

(в-а)"

х„ - крайние значения вариационного ряда результатов х,. Функция правдоподобия построена на рис. 4.7, б, из которого следует, что условный максимум функции правдоподобия имеет место при Ь - а=Хп - Xl.

Оценка максимального правдоподобия

х = (л:,+х„)/2.

(4.8)

Сравнение эффективности оценок. Таким образом, способ расчета оценки математического ожидания зависит от закона распределения погрешностей. Если закон распределения неизвестен, то способ расчета выбирают по экспериментально полученной оценке эксцесса.

Для ограниченных распределений с эксцессом Е от -2,2 до -0,5, например арксинусного, равномерного и трапецеидального (см. табл. 2.5), математическое ожидание оценивают по полусумме крайних значений вариационного ряда.

Для законов распределения, близких к гауссовскому с эксцессом от -0,.5 до 1, эффективной оценкой является среднеарифметическое. Математическое ожидание распределений с полого спадающими краями (£> 1) определяют по медиане вариационного ряда.

Общим свойством оценок максимального правдоподобия является их асимптотическая (достигаемая при п->-оо) эффективность и асимптотическая несмещенность.

При значительном числе наблюдений п> 20....30 закон распределения оценок максимального правдоподобия можно считать гауссовский независимо от закона распределения погрешностей измерений.

Сравним эффективности различных оценок математического ожидания для некоторых часто встречающихсязаконов распределения погрешностей, воспользовавшись данными, приведенными в табл. 4.7.

Как это следует из табл. 4.7, при п> 10 для арксинусного и равномерного распределений наименьшее среднее квадратическое отклонение имеет оценка по полусумме крайних членов вариационного ряда, которую и следует выбрать в соответствии с приведенными рекомендациями. Для погрешностей, распре-

Таблица 4.7. Сравнение эффективности оценок

т. а? -дисперсии оценок математического ожидания, полученных как полусумма крайних членов вариационного ряда и как среднеарифметическое.