Ai{x) и A2{x) выбирают линейными относительно х, хотя можно использовать и более сложные функции. Часто прибегают к сочетанию мультипликативной функции А\{х)=Кх и аддитивной A2{x) = x+L, где К - известный коэффициент; L - образцовый сигнал, одноименный с измеряемой величиной (рис. 5.4, б). В этом случае система уравнений имеет вид

yo = aoiti) + ai{ti)x, - y\=ao(t2) + ai{t2)Kx, y2 = ao(t3) + ai{h){x + L),

а ее решение дает

х =--i-гг. (5.11

У2-У0 - К

Особенность тестового метода по сравнению с методом образцовых мер заключается в том, что функции Кх и x-\-L при измерении измеряемой величины переносятся вместе с ней на нужный участок градуировочной характеристики. Следовательно, для перекрытия всего предела измерений достаточно иметь всего две функции. Однако формирование двух разнородных функций может быть связано с определенными затруднениями. Например, для частотомера относительно просто создать аддитивную функцию путем преобразования частоты. Для формирования же мультипликативной функции необходим широкодиапазонный умножитель частоты, построить который сложнее.

Анализ погрешностей. Погрешности тестового метода определяются погрешностями линейной аппроксимации, из-за неисключенных систематических погрешностей 6„/, и 6„к , образцовой меры L и коэффициента К, а также влиянием случайных составляюших ео и 81.

Неисключенные систематические погрешности приводят к появлению погрешности, дисперсию которой определяют из соотношения:

oL= K{t.l + KIQ„>,k), (5.12)

где Ki=x{l-K)/Lf3; K2 = KI{\-Kf.

Если функции симметричны относительно значения х, то х{\ - К) = L и К = 1/V3- Коэффициент К2 сильно возрастает по мере приближения К к единице. Так, при /( = 0,9 /2 = 90. Следовательно, погрешность 6,/,; сильно влияет на результат измерений и к постоянству коэффициента К предъявляют высокие требования.

Случайные отклонения коэффициентов ео и ei от их математических ожиданий вызывают погрешность, дисперсия которой

Kl{KUlo + xKWa) /а] it), (5.13)

где K§ = LV(l-K/d Kl=l + L4 + x\\-Kf/d\ К1=1 + + LKVd + i\-Knx + Lf/d\ d = L + x{\-K).

Это соотношение упрошается для функций, симметричных относительно х. Тогда /(1 = 7(1=1,5; Кз = L/{\ - K)d = x/d и

а?= \,ЪК1{а1о + х\1:) /a\{t). (5.14)

Коэффициент Кз оказывается существенно большим единицы, так как xd. Следовательно, применение тестового метода может привести к существенному увеличению случайной погрешности по сравнению с погрешностью при непосредственном измерении X. В этом отношении тестовый метод значительно уступает методу образцовых мер.

Пример 5.3. Пусть номинальная градуировочная характеристика вольтметра Уи = х линейна. Реальная же. градуировочная характеристика нелинейна и описывается полиномом второй степени у = ао-{-а\Х-\-агх, коэффициенты которого в зависимости от влияющих величин могут меняться в следующих пределах: ао - от -0,05 до 0,05 В; а\ - от 0,9 до 1,1; аг - от О до 0,05 В. Реальная градуировочная характеристика в наибольщей мере отклоняется от идеальной при максимальных значениях коэффициентов, эта характеристика имеет вид г/ = 0,05----1,1лг--0,05х. Наибольщая систематическая погрешность e = i/ -i/„ = 0,05--+0,lJ»:--0,05л:l

При работе с таким вольтметром в пределах измерений 0,1...1 В абсолютная погрешность составит от 0,06 до 0,2 В. Например, если х = 0,9 В, то 0 = 0,18 В (первый столбец табл. 5.1). Измерения с такими погрешностями, как правило, не могут удовлетворить экспериментатора.

Погрешность можно существенно снизить, применив метод образцовых сигналов. Определим сначала необходимое число образцовых сигналов, обеспечивающих перекрытие заданных пределов измерений. Зададимся допустимой погрешностью линейной аппроксимации Дл=10~ В. Тогда согласно (5.4) протяженность интервала между соседними сигналами rf = (8-10~/0,1) =0,288 В«0,25 В и для перекрытия пределов измерений требуются пять равноотстоящих сигналов: 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1 В.

Пусть измеряемая величина дг = 0,9 В, тогда линейную аппроксимацию градуировочной характеристики необходимо осуществить на интервале 0,75 В до 1 В. Коэффициенты линейной аппроксимирующей функции ао = 1/(0,75) = 0,903 В; а = = [{/(l)-!/(0,75)]/0,25=l,19.

Таблица 5.1. Составляющие погрешностей измерений разными методами

Предположим, что заданы следующие значения СКО: аао=10 В; CToi = = 10~, а неисключенные систематические погрешности образцовых сигналов составляют 10" от их номинальных значений.

Расчеты дают следующие результаты: ах= 1,6-10- В; анх= 1,2-10 В.

Пример 5.4. Оценим теперь погрешность реализации тестового метода для исходных данных примера 5.3. Чтобы получить сопоставимые с методом образцовых мер результаты, положим, что значения мультипликативной и аддитивной функций совпадают с сигналами 0,75 и I В. Тогда Z. = 0,l В, /С=0,83. Задавшись неисключенными систематическими погрешностями сигнала L и коэффициента /С 10- от их значений, получим а, = 3,3-10~ В; а„, = 6,6-10- В. Погрешности результата измерений, полученного разными методами, приведены в табл. 5.1.

Из табл. 5.1 следует, что на основе метода образцовых сигналов и тестового метода удается существенно, в данном случае примерно на два порядка, снизить составляющие общей погрешности измерения. Тестовый метод характеризуется большими по сравнению с методом образцовых мер СКО составляющих случайных погрешностей.

Дальнейшее увеличение точности с помощью перечисленных методов возможно путем сокращения интервала между соседними образцовыми сигналами или известными функциями измеряемой величины. Однако при использовании тестового метода это приводит к резкому увеличению погрешности а,.

Случайную составляющую погрешности можно уменьшить проведением многократных измерений, причем в каждом из них следует реализовать полный цикл из трех измерений.

Достижимая точность измерений ограничена неисключенной систематической погрешностью образцовых сигналов. Кроме того, в реальных условиях может не выполняться предпосылка о постоянстве коэффициентов ao{t) и a\{t) за время измерений, что не позволит полностью исключить их влияние.

Выводы

Систематическую погрешность средств измерений уменьшают путем стабилизации градуировочной характеристики или автоматической коррекции погрешностей. Градуировочную характеристику стабилизируют конструктивно-технологическими методами, параметрической стабилизацией, а также использованием отрицательной обратной связи. Нелинейная обратная связь позволяет линеаризовать градуировочную характеристику.

Метод отрицательной обратной связи позволяет снижать погрешность за счет непостоянства коэффициента передачи канала прямого преобразования, погрешность в основном определяется цепью обратной связи. Отрицательная обратная связь не подавляет аддитивную погрешность, приведенную ко входу.

Автоматическая коррекция погрешности может быть выполнена методом образцовых сигналов (образцовых мер) и тестовым методом. Метод образцовых сигналов позволяет исключать по-