Рис. 2.7

Рис. 2.8

носительно ступенчатого напряжения. Поэтому при продолжении наблюдений получится та же самая погрешность. Таким образом, во всех наблюдениях, кроме первого, погрешность Д(Укв будет постоянна по значению.

Случайный же характер погрешности квантования проявляется при многократных наблюдениях изменяющейся во времени величины Ux (рис. 2.7). При каждом наблюдении погрешность принимает случайные значения, распределенные по равномерному закону.

Рассмотренные погрешности подчинены равномерному закону распределения в силу объективных причин. Существуют и погрешности, для которых равномерный закон является удобной математической моделью. Так, во многих случаях о погрешности ничего не известно, а заданы лишь ее пределы. За математическую модель этой погрешности целесообразно выбрать такую, которая дает наибольшую погрешность измерений.

Обычно погрешность выражают в единицах СКО, поэтому в качестве модели естественно принять такой закон распределения, который имеет наибольшее СКО. Можно показать, что среди одно-модальных законов распределения этим свойством обладает равномерный закон, ограниченный предельными погрешностями, который и принимают в качестве модели. Подобная ситуация возникает, например, при анализе неисключенной систематической погрешности, рассмотренной в § 4.6. Закон распределения этой погрешности обычно определить не удается, а можно оценить лишь ее предельные значения ±9н. Закон распределения неисключенной систематической nojpemnocTn моделируют равномерным законом с СКО a = e„/Vl2.

Иногда в ходе измерений проявляется вариация показаний, приводящая к появлению погрешности. Сущность вариации показаний рассмотрим на примере. Пусть необходимо экспериментально определить резонансное значение емкости конденсатора высокодобротного колебательного контура, подсоединенного к генератору переменного напряжения. Резонансное значение емко-

сти отсчитывают по шкале переменного конденсатора, настраивая контур в резонанс. Если шкала связана с ротором конденсатора с помощью зубчатой передачи с некоторым зазором в зацеплении, то средние значения показаний шкалы Се и См при подходе к резонансу со стороны больших и меньших емкостей будут различаться. Вариацию показаний Я=Сб--С„ определяют по большему числу измерений.

В электронных приборах вариация показаний может возникать из-за гистерезиса магнитных материалов и релаксационных схем при увеличении и уменьшении входного напряжения, а также из-за трения в системе подвеса рамки магнитоэлектрических приборов. Согласно ГОСТ 8.009-84 погрешность из-за вариации показаний считают равномерно распределенной в пределах ±Н/2 со СКО а = Я/7Т2.

Заметим, что такая модель может быть уточнена. Если в ходе измерений все отсчеты производят только при увеличении или уменьшении измеряемой величины, то погрешность из-за гистерезиса приобретает систематический характер со значениями ±Н/2. Если же считать, что увеличение и уменьшение измеряемой величины равновероятны, то погрешность из-за гистерезиса является дискретной случайной величиной с равновероятными значениями ±Я/2 и СКО а = Н/2.

Следует также иметь в виду, что при существенной погрешности из-за гистерезиса закон распределения общей погрешности может быть двухмодальным, что, например, иногда имеет место в генераторах с настройкой механическим приводом.

Треугольный закон. Можно показать, что треугольный закон распределения погрешностей является композицией двух равномерных законов с одинаковыми дисперсиями. Такая композиция, например, имеет место пр,и измерении временного интервала цифровым методом, если начало измеряемого интервала не синхронизировано с последовательностью счетных импульсов (рис. 2.8,0). Результат измерений

= « 7"о - А/„ + А/к = « Го - Л/д,

где А/„ и А/к - погрешности дискретизации в начале и конце интервала Тх, А/д - общая погрешность дискретизации.

При отсутствии синхронизации начало интервала может с одинаковой вероятностью попасть в интервал времени от нулевого до первого счетного импульса. Эта погрешность подчинена равномерному закону с предельными значениями О и Го подобно уже рассмотренной погрешности А/к. Если интервал Тх не измерен, то случайные погрешности независимы, а закон распределения общей погрешности дискретизации А/д треугольный с предельными значениями ±Го (рис. 2.8,6). Плотность вероятностей

р{ АО =

при - Го < Д/д < 0. -4+ при 0<Д?д<7о,

о о

о при Д/д < - Го; Д/д > Го.

(2.6)

СКО а = Го/л/б.

Закон арксинуса. При измерении постоянного напряжения вольтметром на вход прибора кроме измеряемого напряжения Ux может поступать гармоническое напряжение помехи ы„ = = (yncoso)/, вызванной наводками (рис. 2.9, а). Если время измерения вольтметром намного меньше периода повторения помехи, то можно считать, что вольтметр измеряет мгновенное значение напряжения Ux-\-u„. Момент включения вольтметра случаен по отношению к помехе, поэтому помеху можно считать реализацией случайного процесса - гармонического напряжения со случайной фазой, равномерно распределенной в пределах ±я.

В курсе теории вероятностей показано, что в этих условиях плотность вероятности мгновенного значения помехи описывается законом арксинуса:

график которого показан на рис. 2.9, б.

Среднее квадратическое отклонение а-и„/л[2 равно эффек тивному значению гармонического напряжения помехи.

Гауссовский закон. Обычно случайная погрешность измерений определяется сум.мой большего числа статистически независимых составляющих с конечными дисперсиями. Практика показала, что в этом случае погрешность подчинена закону, близкому к гауссовскому, иногда называемому нормальным. Этот результат является следствием центральной предельной теоремы, со-