гласно которой закон распределения суммы независимых случайных величин с конечными дисперсия,\:и стремится к гауссовскому при увеличении числа слагаемых. Даже при трех-четырех слагаемых с соизмеримыми дисперсиями закон распределения суммы может быть близок к гауссовскому, особенно в области больших значений плотности вероятности. Однако в области малых значений плотности вероятности закон распределения суммы сходится к гауссовскому значительно медленнее.

Экспериментальные исследования по определению и анализу реальных законов распределения погрешностей показали, что га-уссовский закон нельзя считать универсальным и пригодным без всяких ограничений для описания погрешностей средств измерений. Это объясняется тем, что на практике условия центральной предельной теоремы выполняются не полностью из-за ограниченного числа слагаемых. Кроме того, всем электронным устройствам свойственна некоторая нелинейность характеристик, например ограниченная протяженность амплитудных характеристик линейных устройств, вследствие чего гауссовский закон может сушест-венно исказиться.

Гауссовский закон удобно использовать в качестве математической модели неизвестного закона распределения, если есть предпосылки считать его близким к гауссовскому.

Плотность вероятности гауссовского закона

Р() = -Г-ехр 1/2л а

(Д - 0Г

Для случайной погрешности е==А -6 плотность вероятности имеет вид:

Вероятность появления случайной погрешности е в пределах ±Ав„

Яд = Я{ - Ав„ < е <

где / = Ав„/(т.

Функция 2Ф(/), называемая интегралом вероятности, табулирована (табл. 2.1).

Закон распределения у/. Как известно из курса теории вероятностей, сумма квадратов k независимых центрированных слу-

чайных величин х, с единичными дисперсиями х= 2 xf (г =

Таблица 2.1. Значение интеграла вероятности

= 1, 2, .... к) подчиняется закону распределения х- Закон распределения зависит от числа независимых слагаемых, называемого j количеством степеней свободы.

Плотность вероятности распределения описывают выражением

21(*/2)-1]

exp(-xV2),

где Г - гамма-функция.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины /С = к; o = 2k. При большем числе степеней свободы /г> 30 распределение х приближается к гауссовскому.

Закон Лапласа. Этот закон описывает предельное распределение суммы случайного числа случайных слагаемых. Плотность вероятности

р{г) =

V2 а

Числовые характеристики некоторых законов распределения приведены в табл. 2.2.

Выводы

По причине возникновения, погрешности делят на методические, инструментальные и субъективные. По характеру проявления различают систематические и случайные погрешности. Динамическая погрешность обусловлена инерционностью средства измерений.

Систематическая погрешность постоянна или медленно меняется за время проведения измерений с многократными наблюдениями. Некоторые составляющие ее для конкретных средств измерений поддаются приближенному описанию с помощью детерминированных функций времени.

Таблица 2.2. Числовые характеристики некоторых законов распределения

Закон распределения

График плотности вероятности

Д.„/а

Арксинусный

Равномерный Трапецеидальный

Треугольный Гауссовский Лапласа

Примеч ание. Для гауссовского закона и закона Лапласа принято Рд =0,9973.

Случайную погрешность обычно описывают как случайную величину или эргодический случайный процесс. Основной характеристикой ее является плотность вероятности, с помощью которой можно рассчитать вероятность пребывания погрешности в заданных границах или решить обратную задачу.

Законы распределения некоторых составляющих случайной погрешности могут быть определены теоретически до проведения эксперимента. Это - погрешности квантования и дискретизации.

Погрешности с неизвестным законом распределения, заданные своими пределами, в метрологии принято характеризовать равномерным законом. Если случайная погрешность состоит из нескольких статистически независимых составляющих с соизмеримыми СКО, то согласно центральной предельной теореме ее можно приближенно описать гауссовским законом независимо от законов распределения составляющих.

2 За