при моделировании можно использовать постоянный коэффициент трения, определяемый только в зависимости от относительной шероховатости поверхности трубы.

Тепловой поток между газом и стеной считается пропорциональным разности температур: = осст (Тст- Т)- Как показал анализ, для двухтактных карбюраторных ДВС нельзя пренебрегать зависимостью коэффициента теплоотдачи от режима течения:

«от = осоИ Р Т (3.19)

с переходом на базразмерные переменные система уравнений (3.17) модели трубы принимает вид

ди , Sh

U

1 ар

р dZ

Sh L

и dp р дХ Г/

Sh дР

kpL дХ Sh ди

= -1

L дХ Е

2 d 2Sh и

L d

Sh, ]

dd dX

Sh д

L dX

k(k~\)

4gStSh , -1 <от

f £1

Sh ая

= 0.

(3.20)

Здесь приняты следующие безразмерные переменные и постоянные: и = ц/со - скорость газа; L = 1/S - длина трубы; X = л: - пространственная координата; d = d/D - диаметр трубы; Е ~ = е/во ~ удельная внутренняя энергия; I = S/D ~ отношение диаметра цилиндра к ходу поршня; I - длина трубы.

При исследовании газодинамических процессов в ДВС удобнее вместо р и р использовать зависимые переменные а (скорость звука) и S (энтропия). Опыт составления математических моделей показал, что энтропию целесообразно ввести в дифференциальные уравнения через экспоненциальную функцию w = ехр (s/(2cp)).

Система дифференциальных уравнений (3.17) относится к группе квазилинейных дифференциальных уравнений и частных производных. Характеристики системы вещественные и некратные, что является необходимым условием для классификации ее как гиперболической системы уравнений:

-характеристика dx = udt; «-характеристика dx = (и + а) dt; Р-характеристика dx = (ц - a)dt,

(3.21)

где а 66

скорость звука.

Из теории уравнений математической физики известно, что в гиперболической системе уравнений можно применить переменные, имеющие производные только по одной характеристике. При плоскосимметричном гомоэнтропийном течении газа эти переменные становятся постоянными (инварианты Римана). Для системы (3.20) они изменяются и их можно называть или квазиинвариантами, или переменными Римана. Переменными (квазиинвариантами) траектории (-характеристика) выбираем чистоту газа X и функцию энтропии W = w/wq. Новые переменные для двух остальных характеристик определяем как

а = Л+Ц[;; р-А--и, (3.22)

где А - а/щ.

После введения новых переменных система (3.20) принимает вид dX„ = ([/-b4)(Sh/L)dZ; da = dRis - dRU - dRi -f dRia; dXg =(t/-/4)(Sh/L)dZ;

ddRis-dRM + dRi + dRiQ; j ,23)

[dXUStilLdZ; 1 r

dW =

fe-l A

dRia;

k - \

(k-l)

U + A; UA

dX = 0, dd Sh

U + A; dRi, = dW;

d dX L

8 St

1 rtrp -

1 (A/wT-

Система содержит условия совместимости по трем характеристикам - а, р и Я. Для упрощения расчетов иногда пренебрегают изменением энтропии частиц, т. е. для -характеристик принимают ~ исследования, проведенные с помощью ЭВМ, показали, что для двухтактных карбюраторных ДВС пренебрежение изменением энтропии вдоль траектории при учете диссипативных членов в уравнении движения вызывает большие погрешности и может способствовать нестабильности в расчетах.

Из теории уравнений математической физики известно, что смешанная задача для квазилинейной системы дифференциальных уравнений гиперболического типа с произвольными граничными условиями решается только численными методами. Для получения приближенного общего решения при исследовании газообмена иногда некоторыми сторонами реальных процессов пренебрегают.

Линеаризацией системы уравнений А. Пишингер, К. Гофман, М. Лейкер и другие разработали методы расчета газообмена в двухтактных двигателях, учитывающие только волновые эффекты. Пренебрегая сжимаемостью газа, А. С. Орлин, Э. Хубер и другие создали методы, учитывающие только инерционные явления.

Исследования показали, что в некоторых случаях процессы в трубах можно рассматривать упрощенно и даже полностью пренебречь газодинамическими явлениями в трубах. По данным Р. Бенсона, волновыми явлениями в трубах нельзя пренебрегать, если Shy J> 0,01 ... 0,015. Простые расчеты показали, что у двухтактных ДВС мотоциклов даже продувочные каналы часто этому условию не удовлетворяют. Волновыми эффектами газодинамики можно при расчете процессов в продувочных каналах нормальной конструкции пренебречь на самых низких скоростях поршня. Только при особенно коротких вспомогательных продувочных каналах (через поршни) Sh,. 0,009, что позволяет принять течение газа в них квазистационарным. Для уточнения модели можно применить методы, учитывающие инерционные явления

Система уравнений модели трубы, в принципе, интегрируема, но ввиду нелинейности системы решение может иметь разрывы. Из существующих методов решения квазилинейных гиперболических систем уравнений в представлении Эйлера наиболее перспективным является метод Лакса-Вендроффа. Основным преимуществом метода является то, что и в случае использования переменных Эйлера он обладает точностью второго порядка. Метод дает стабильные решения и при довольно значительных амплитудах давления. Для связывания с краевыми условиями (моделью местного сопротивления) метод Лакса-Вендроффа следует применять вместе с другими методами. В случае относительно коротких труб, что характерно для двухтактных двигателей, метод Лакса-Вендроффа особых преимуществ не имеет.

Наиболее часто в расчетах процессов га.зообмена в ДВС использовали метод характеристик. М. Г. Кругловым и Г. Зайфертом метод Массо применен к ДВС. В связи с отсутствием сглаживающего действия в программах должны быть алгоритмы, учитывающие все возможные особенности течения. Сложна и логика совместного расчета с моделью сопротивления, особенно при применении нескольких труб и резервуаров. Р. Бенсоном на основе метода Хартре ра.зработан алгоритм решения системы дифференциальных уравнений гомоэнтропийного одномерного движения газа в прямоугольной сетке Эйлера. Впоследствии метод Хартре- Бенсона использовали и другие исследователи.

Система уравнений модели трубы двухтактного двигателя может быть решена методом Хартре-Бенсона. Однако схема расчета должна быть дополнена расчетом третьего семейства характеристик (траектории). Сетка образуется с постоянным шагом. Для того чтобы начала характеристик а и р, проходящих через точку на новом временном уровне PfJ, можно бы.по определить интерпо-f)8

I3f Ai.,; m.iPi.l

3.5. Схша Хартре--Бенсона

Рис. 3.6. Дву.хшаговая схема

iядией соседних точек pl и р, (рис. 3.5), число Куранта "о = (А f I V \} должно быть меньше единицы.

Разностные уравнения получаются заменой дифференциала я дифференциальных уравнениях системы (3.23) на соответствующие конечные разности. Ввиду несовпадения областей влияния систем дифференциальных и разностных уравнений на рассчитываемую точку влияют и точки, которые находятся вне области ее зависимости. В результате становится возможным проведение сквозного расчета без учета особенностей течения. Вместе с тем интер-1ЮЛяционные погрешности (достигают 30 %) не допускают модифицировать схему Хартре-Бенсона простым добавлением характе-(Чистик третьего семейства.

Для снижения погрешности разработан и проверен метод расчета в двухшагозой сетке Эйлера (рис. 3.6). В узлах i основной сетки определены квазиинварианты Римана характеристик двух семейств (а и р), а в узлах т сетки с уменьшенным шагом ЛХ =

АХ/2 - квазиинварианты Римана характеристик третьего се-лгейства {% и W). Расчеты на ЭВМ показали существенное сниже->1ие погрешностей интерполяции при двухкратном уменьшении ыага ?.-сетки по сравнению с шагом основной сетки. Дальнейшее уменьшение шага .-сетки точности аппроксимации не повышало.

Опыты решения с помощью ЭВМ показали, что аппроксимаиия дифференциальных уравнений является нестабильной, если энтропию при расчете характеристики двух первых семейств интерлоли-ровать в >.-сетке, а остальные величины в основной. Оказалось, что для получения стабильной схемы нужно использовать -сегку .ля исключения слишком интенсивного сглаживания поверхностных разрывов. При расчете квазнинвариантов на характеристиках двух первых семейств энтропию следует интерполировать из основной сетки.

В начале расширяющегося конуса выпускной трубы двигателя визможно возникновение сверхзвуковой скорости, что ведет к нестабильности расчета в сетке Эйлера. Практически ввиду сглаживающего действия разностной схемы возможность получения сверхзвуковой расчетной скорости и разрывов снижена. Диссипативные

члены в уравнениях также увеличивают запас стабильности расчета. Усилению эффекта олаживания способствует уменьшение временного шага расчета по сравнению с допустимым по критерию Куранта. Для полного исключения нестабильности целесообразно в алгоритм решения системы уравнений включить соотношения на скачке по Г. Блэеру.

Относительно сильное влияние на скорость расчета и качество моделирования процессов в трубах имеет соотношение между пространственными шагами в разных трубах. С изменением режимов работы двигателя оптимальное соотношение несколько изменяется. Для обеспечения стабильности расчета число узлов в самой короткой трубе не должно быть меньше пяти. Короткие трубы (особенно продувочные каналы) обусловливают настолько малые шаги сетки, что с увеличением числа узлов точность аппроксимации существенно не повышается.

МОДЕЛЬ МЕСТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Из всех местных сопротивлений, учитываемых при математическом моделировании газообмена в ДВС, только закрытые окна могут быть описаны простым условием - скорость на конце трубы равна нулю. Во всех остальных случаях учитывают течение газа через местное сопротивление. Уравнениями одномерного неустановившегося течения рассчитывать течение газа через местное сопротивление невозможно. Общие зависимости для многомерного неустановившегося движения газа через местное сопротивление получить нельзя. Поэтому течение через местное сопротивление рассматривается упрощенно, как энергоизолированное квазиста-цйонарное. Такое предположение основано на том обстоятельстве, что пространственное изменение параметров, обусловленное местным сопротивлением, по сравнению с изменением их во времени больше, т. е. члены с производными по времени в дифференциальных уравнениях относительно малы по сравнению с членами, содержащими производные по пространственной координате. Предположение о квазистационарности тем больше соответствует действительности, чем меньше длина возмущенного потока.

Наиболее сложно связать течение в местном сопротивлении с одномерным неустановившимся течением газа в трубе. Решение этой задачи представлено графически как точка А пересечения двух кривых (рис. 3.7): кривой 2, характеризующей зависимость решения от параметров состояния газа в трубе Ut [{Rh, arWu/ianWr)] (условие совместности на первичной характеристике); кривой 1, характеризующей течение через .дроссель под действием разности параметров состояния Uj (и-. . РгРн)-

На схеме можно выделить следующие зоны;

1) отсутствия течения газа (давление в трубе равно давлению в связанном с трубой объеме рт : рт/Рв =

2) истечения газа из трубы, когда рт/рн > 1.

3) течения газа из резервуара в трубу, когда Рт1ря< 1.

Рис. 3.7. Связь течения через местное сопротивление с течением в трубе; / - выход потока из трубы: - вход потока в трубу

Когда скорость в минимальном сечении равна скорости звука, в трубе может возникнуть сверхзвуковое течение. Модель течения через местное сопротивление можно создать, базируясь на следующих рекомендациях И. А. Чарного: в первой части потока, в направлении течения до минимального по площади Fd сечения, предполагается ускоренное изоэнтропийное течение; от минимального сечения до сечения с одномерным течением или до смешивания с наполнением объема течение происходит с увеличением энтропии.

Все потери, связанные с преодолением местного сопротивления, сводятся при такой постановке к потерям при расширении газа. Влияние местного сопротивления на течение в трубах можно оценить с помощью эффективной площади Fef проходного сечения, которая при принятой физической модели определяется через площадь Fa сечения местного сопротивления и коэффициент р, расхода: Fef = P-Ftf.

Истечение из цилиндра через боковое окно исследовали Р. Ми-зес, В. Вильхельм, К. Комотори и Э. Нидемайер, а влияние на пропускную способность окон сжимаемости газа и режима течения - С. А. Чаплыгин, В. Нуссельт, Д. Жуковицкий, Р. Бенсон и др. Однако метод аналитического определения коэффициента расхода в зависимости от геометрии местного сопротивления и режима течения еще не получен. Необходимые для проведения расчета значения коэффициентов расхода можно в настоящее время находить только экспериментально. Дальнейших исследований требует изучение влияния нестаиионарности течения на пропускную способность окон, так как имеющиеся в литературных источниках данные очень противоречивые. Значения коэффициентов расхода с учетом нестационарности течения можно определить по индикаторным диаграммам работающих двигателей.

В зависимости от связи с одномерным движением газа в трубопроводе, местные сопротивления можно группировать следующим образом: 1) место соединения двух трубопроводов; 2) место выхода газа из трубы в объем; 3) место входа газа из объема в трубу. Наиболее важными при моделировании процесса двухтактного двигателя являются местные сопротивления, связывающие трубы с объемом.

Схема истечения из цилиндра или кривошипной камеры (объема) в трубу показана на рис. 3.8 и 3.9. Поток образуется уже в объеме,