Рис.

3.S, Схема истечения газа из цилиндра в трубу

давление в потоке уменьшается от давления pR в объеме до минимального р в минимальном сечении плошадью потока. Поток постепенно заполняет весь канал. Кинетическая энергия потока частично преобразуется в потенциальную, частично - в теплоту. Описывая течение через первую часть потока уравнением энергии и через вторую часть законом неразрывности, определяем функцию энтропии (wt) на начальном участке трубы.

На докритическом режиме истечения давление ра в минимальном сечении определяется давлением Рг в трубе ра = Рт1р> а степень Ор восстановления давления находится из уравнения импульсов. При сверхкритическом режиме истечения поток на некотором отрезке трубы расширяется (точка с, рис. 3.10). В дальнейшем расширение сопровождается скачком или системой скачков с увеличением энтропии и переходом в дозвуковой режим течения. Параметры газа после скачка (скачков) должны соответствовать условию совместности первичной характеристики в трубе. Акустическая скорость в минимальном сечении потока считается критической и определяется из уравнения энергии.

Таким образом, модель местного сопротивления в случае течения газа из объема в трубу описывается уравнением

- О,

(3.24)

где йт и Ur - соответственно акустическая и массовая скорость в трубе; ад ~ акустическая скорость в объеме. Если

г/ я „ . . . . 3 25)

<k-l)H2k) W

>

то имеет место докритический режим течения и систему дополняют уравнениями

!ис. 3.9. 1г.-диаграмма докрс.тическогп истечения гяза в трубу

Рис- 3.10 (.ч-диаграмма сверхкритического исTfЧ1-НИЯ га.яа в трубу

Ото к-1

Рис. 3.11. [s-днаграмма докритическо-го истечения газа из трубы

Рнс. 3.12. гв-диаграмма сэерхкритнче-ского истечения газа из трубы

{Wr/Wf

•1 Л\-к)1к

= 0;

(3.26)

гдешг ишн-функция энтропии соответственно в трубе и в объеме.

В случае сверхкритического режима истечения систему (3,26) заменяют уравнением

12/(ft-l)

При истечении из трубы (если рг > Рп или .> ajtWr/wn) в объеме образуется около конца трубы зона с параметрами, определяемыми параметрами газа в трубе и режимом течения. Вся кинетическая энергия потока преобразуется в теплоту.

Параметры истечения газа определяются уравнениями энергии (в первой изоэнтропийной части течения) и неразрывности 351. В случае докритического истечения, т, е. если

- а,]\ (3.28)

>

В минимальном сечении местного сопротивления поддерживаегсд давление такое же, как в объеме (ра = Рд, рис. З.П), и скорость истечения газа из трубы определяется уравнением

4/(fe-l)

+

Г~ Г=~1

При сверхкритическом режиме истечения в минимальном сечении местного сопротивления возникает критическая скорость (число Маха М = и/а = 1) и скорость газа в трубе определяется уравнением (рис. 3.12)

--= 0. (3.30)

-1 2

•f 1

k-\

2 .2\2ЦЬ+и 2(k+l)

k + 1

k + l

Режим течения газа через местное сопротивление влияет на параметры газа в объемах через плотность потока

и полную энтальпию

т. = up

(3.31)

F=-i-r-~. (3.32)

нРн5й"?пТ/° безразмерные переменные гюлная система уравнений модели местного сопротивления имеет вид-при Л,>№:

2 (jtja В другом случае

2(-1) \-w7

\2/(*~!)

при Лг<У •

.с/-

\ 1/2

при -A:Zfi./ 2 N. л1

» \2

I гт/*

1±

в другом случае

= 0;

(3.33)

2 \ (fe+l)/(2ft-2)

и-г ( Ат \2/(fe-i)

Режим течения через местное сопротивление определяется системой (3.33) совместно с характеристиками системы (3.23). Целесообразно в систему уравнений модели местного сопротивления ввести те же переменные (квазиинварианты), что и в систему уравнений (3.22) модели трубы. Первичный, определяемый трубой, квазиинвариант обозначаем Ri, вторичный, отражаемый с местного сопротивления, квазиинвариант Ri. Так как при течении в трубу энтропия газа в начале трубы определяется режимом течения, то значение первичного квазиинварианта заранее не известно. Разделяем первичный квазиинвариант при течении в трубу на активную и реактивную части:

Rh = Rha + Riir, (3.34)

где Riia - активная часть (от режима течения через местное сопротивление не зависит); hr - реактивная часть (уменьшает разность давления на местном сопротивлении), которая включает ту часть квазиинварианта, которая зависит от режима течения. Реактивная часть

(3.35)

Используя обозначение F = цЧ, получим систему уравнений модели местного сопротивления в квазиинвариантах в виде:

при R < 1

R = RiJA; X = RiA; Y = Wr/Wn, X + R + Y~iy (-f+f-)-2==0;

при R + XY-l- 2Га<*-><*> [2/{к + < 0

2 X~R~Y <T

k-lX + R + Y +1,

/ V FY-

= 0;

{X + R + Y-ir±(\ X

(X + R+Y-l)

y2(fe-l)/A

-4 = 0,

иначе

{X + R + Y-ir + F4-

4/(ft-l) x„I

{X+R + Y-lj при i?>l

R = RhWn/(A,,Wr); X ~ RhWnliAnWTY,

(3.36)

2 j

: - 1

-(;?-Х)-2(У !)==0;

(/? + Xf - 0.

2(fe + l)

Система (3.36) определяет при известной площади F .эффективного проходного сечения, первичного квазиинварианта R и среднего показателя k адиабаты искомый вторичный квазиинвариант X. Аналитического решения эта система уравнений не и.меег. .Итерационные методы такие, как метод Зейделя, Ньютоня - Рафсона, Пегхама и другие не сводятся к физически разумным решениям на всех режимах работы двигателя (течения газа).

Надежное решение системы уравнений обеспечивает метод хорд, если границы, в пределах которых ищется ре(иение, выбраны удачно. Недостатком метода хорд является большее число итерационных шагов на каждом режиме, тем более что к модели местного сопротивления приходится при каждом моделировании двигателя обращаться многократно. Поэтому не нужно решать систему при каждом обращении заново. Целесообразгше использовать таблицы или номограммы готовых решений, из которых соответствующее конкретным условиям решение опрегеляется интерполяцией. Для графического решения газодинамических задач номограммы получены А. Пишингером и П. Хадлачом.. Цля изоэнтропийного течения через местные сопротивления Г. Блэер разработал табличный метод. В случае течения с увеличением энтропии в пространстве (f, R, k) нужно образовать сетку, в y.-»isx которой определено решение системы (3.36). Таким обрааом создаются сеточные функции Xi ==Х {F, R, k) и Yi = У {F, R, к) при течении в трубу и Xq == X {F, R, k) при истечении из трубы.

Для размещения значепий трех неизвестных, к Y, при течении в трубу и Xq при истечении из трубы, требуются три. трех мерных массива: Xi = (Хг,,); Г/- (Кг,лй); -о (-г, л ft)-Если область изменения каждого парамегра делится на 15 ... 25 частей, то объем оперативной памяти ЭВМ, требуемый для размещения массивов, составляет 40 ... 190К байт. При пренебрежении изменением среднего показателя адиабаты массивы станут дву мерными и необходимый для них объем оперативной памяти умень шится до 3 ... 71\ байт. Заполненные в результате решения системы (3.36) массивы находятся на внешних носителях. При исполыопп

0,6 0,7 0,8 0,9

Рис. 3.13. По!рцшно1;ти интерполяции и;-" ж.шльмлуллт сеточной 4,1ункции местного сопротивления

НИИ математической модели газообмена массивы считываются в оперативную память ЭВМ.

Для уменьшения погрешностей при расчете модели местного сопротивления в виде сеточной функции, а также сокращения числа узлов сетки желательно применять нелинейные законы распределения сетки. В наиболее часто используемой части шаг сетки должен быть меньше.

Распределение погрешностей (%) интерполяции при выборе гармонических законов сетки показано на рис. 3.13. При объеме памяти 5,9К байт в нормально используемой области (ограничена штриховыми прямыми) погрешности интерполяции меньше 1%.

Рис 3 14. Закоиы отражения воли в местных сопротивлениях: а -при течении я труСу; б - при -с-ечении из п У«>«