Android-приложение для поиска дешевых авиабилетов: play.google.com
Главная -> Дистанционное зондирование

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [50] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129

дела на основе статистической теории решений, используя как можно больше интуицию. Однако обсуждение проводится в математических терминах. Читатель, менее осведомленный в математике, может бегло просмотреть этот материал или просто перейти к абзацу, следующему вслед за формулой (III.22). Сначала определим множество функций для т классов

i= 1, 2.....m; /= 1, 2.....т, (III.14)

-потери или стоимость, вызванная классификацией образа из класса / в класс i. Вскоре будет получено конкретное множество функций потерь.

Основная стратегия, которой будем придерживаться,- минимизация средних потерь для всего набора предстоящих классификаций. Такую стратегию классификации называют байесовской оптимальной стратегией. Для данного образа X средние потери при отнесении X к классу i вычисляют по формуле

LAi) = >ii\i)p{(j\X), (111.15)

где p{(Mj\X)-условная вероятность того, что X принадлежит классу /.

Соотношение между совместными вероятностями и условными вероятностями

р (Х, (oj) = /7 (X I (oj) р (со,.) = р (со,-1 X) р (Х).

ИЛИ, решая уравнение относительно p(cujX),

p{(s>j\X)==p(X\ (i>j) р (ajyp (X). (111.16)

Подставив выражение (III.16) в (III.15), имеем

L, (О = K{i\l)p (X I co,.) p (coj)/p (X). (111.17)

Выражение (III.17) приводит к набору дискриминантных функций, если применить следующие три правила: 1) минимизация набора функций эквивалентна максимизации тех же функций с обратным знаком; 2) подходящий набор функций потерь

Я((Л=0 ij;

(III.18)

Х(/1/) = 1 1Ф1,

т. е. стоимость равна О при правильной классификации и равна 1 при ошибке; 3) если {giiX) t=l, 2, т}-набор дискриминантных функций, то применение любой монотонной функции к этому набору дает эквивалентный набор дискриминантных функций \ gi {X) i=l, 2, tn\ , т. е. использование любого из



этих наборов приводит к одинаковым результатам классификации.

Некоторые примеры применения правила 3, которыми мы будем пользоваться, включают следующие:

gi {X)gi{X)±k, (III.19,а)

gl (Х) = gi {X) k (fe-константа), (111.19,6)

gi{X)lg[gi{X)]. (III.19,в)

Байесовская оптимальная стратегия требует принятия классификационных решений, минимизирующих (П1.17). Если применять приведенное выше правило 1, то эквивалентной стратегией будет минимизация взятого с обратным знаком уравнения (И 1.17). Итак, пусть

gi{X)-LAi) .1=1.2.....т. (III.20)

и пусть стратегия классификации заключается в том, что X относится к классу i, для которого gi{X)=-Lx{i) максимальна. Опираясь на определение дискриминантной функции и связанного с ним общего правила классификации, выясняем, что набор функций (III.20) является набором дискриминантных функций.

Можно получить дальнейшие упрощения, пользуясь правилами 2 и 3. Прежде всего, подставляя «нуль - единичную функцию потерь» в уравнение (III.18), получаем

gi (Х)=-2МИ/)Р(1«;)-

/=1 /=1

при любом заданном X величина р{Х) постоянна, что дает эквивалентный набор дискриминантных функций

gi {X) = gi () Р () = - 2 I -•) Р к-)- (111-21)

Простой закон вероятности дает

p{X) = p{X\(sj)p{(sj),

что можно представить как

р{Х)=р{Х\ 0)) р (сог) +Р{Х\ foj) р (oij),



или, решая относительно самого правого члена,

Подстановка этого результата в (П1.21) даст

gi{X) = -p(X) + p{X\(Oi)p((Oi), .

наконец, снова замечая, что р{Х) -константа при фиксированном X, применение правила (HI.19, а) приводит к требуемому набору дискриминантных функций

gi" W -=gi(X) + p{X)=piX\щ) р (Wi), (III. 22)

что в точности совпадает с набором дискриминантных функций, приведенным в начале раздела при определении решающего правила по максимуму правдоподобия.

Таким образом, мы исходили из фундаментальной стратегии принятия решений, а именно, минимизации средних потерь (байесовская оптимальная стратегия), выразили средние потери через функции распределения вероятностей, связанные с задачей классификации, и свели задачу минимизации к задаче максимизации. Некоторые преобразования полученного выражения затем позволили нам получить дискриминантные функции, реализуемые в решающем правиле по максимуму правдоподобия.

Мы можем получить и более конкретные выражения.

Если можно предположить, что функции распределения вероятностей, связанные с классами образов, представляют собой многомерные нормальные функции плотности, как в (III.10), то дискриминантные функции выражаются так:

=(2я)«/1Е,1/2Р

4- (Х-УОЕг (X-Ui)

(III.23)

Возможно получить более простой в реализации эквивалентный набор дискриминантных функций. Повторно применяя к формуле (III.23) правила (III.19), получим

gi (Х) = ЫеР (Щ) - 4" 2£ I - 4~ ~ ii i-i)- (111. 24)

Когда задача поставлена и по обучающим данным определены статистические параметры, только квадратный член [самый правый в выражении (III.24)]! изменяется от точки к точке в процессе классификации и должен вычисляться для каждой классификации.

Заметим, что система распознавания образов классифицирует каждый образ, представленный ей, в один из классов, для расцознавания которых она была создана, т. е. в один из классов, для которого была определена дискриминантная функция. Практически во всех задачах дистанционных исследований име-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [50] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129



0.0099
Яндекс.Метрика