МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

В этом введении кратко описывается последовательность, в которой мы собираемся излагать основные проблемы теории возмущений. Здесь мы хотим привести некоторые простые утверждения, не вдаваясь в математические подробности относительно рассматриваемых функций. Все необходимые предположения будут сделаны в последующих главах книги.

Следуя историческому пути развития, мы сначала рассмотрим проблему Линдстедта [46.1] ), которая заключается в получении решения такого уравнения:

xAr<ulx = zf (ж, X, t),

где О -< £ < 1 - параметр. Решение ищется в виде рядов, не содержащих секулярных и (или) смешанных секулярных членов. Как было обнаружено, возможность получения решения

X = xo{t) + EXi (t) + е% (t) +...,

X = Xo{t) + BXi{t) +SX2{t)-\-...

приведенного выше уравнения, где Xj{t), ж,-(i) - ограниченные функции при всех tR, существенно зависит от природы функции / и ее производных до некоторого порядка. Как было найдено

Линдстедтом, опорное решение Xo{t), Xo{t) дается формулами

хо = а COS {at-\- а), хо == -а (й sin {at -f- а). Здесь © - вначале неизвестная величина, по предположению

) В дальнейшем при ссылках на литературу первое число означает порядт.овый номер цитпруемоп работы в списке литературы к главам I-V соответственно.. Второе число - номер главы, данный арабской циф-poii - может отсутствовать, еслп источник приводится в конце этой же главы. Номера статей и монографий из списка литературы, добавленной прп переводе, даются в подстрочных примечаниях и отмечены звездочкой (прим. перев.).

представимая в виде степенного ряда

0) = (йо + е(й1 + есйг + есйз + ...,

где (й1, 0)2, ... - константы, зависящие от о)о, а и f. Giporo говоря, самыз первые попытки исследования возмущенных колебательных систем были сделаны еще Эйлером [23.1] при рассмотрении движения Луны. Делоне [16.1] был вторым исследователем, обнаружившим, что при уничтожении неограниченных членов в рядах решения для таких систем большую трудность представляет выбор опорной частоты - факт, который привел его, возможно впервые, к систематической процедуре определения рядов которые сегодня называются характеристическими показателями Флоке - Ляпунова. Переход от метода последовательных канонических преобразований Делоне к методу, использующему производящую функцию, впервые был предложен Тиссераном [68.1]. Через некоторое время была опубликована работа Линдстедта [46.1], результаты которой сразу же были применены Пуанкаре [57.1] к систематической процедуре усреднения для гамильтоновых систем (не обязательно автономных). По существу весь второй том его «Небесной механики» посвящен этому методу и связанным с ним вопросам, среди которых важнейшим является пpoблeiгa резонансов (причем в нелинейном смысле). Пуанкаре достиг больших успехов в обобщении всех предшествующих работ, включая п фундаментальные работы Бохлина и Гильдена. В хронологическом отношении дальнейшие успехи в рассматриваемой проблеме были достигнуты опять же в небесной механике Цейпелем [105.2], обобщившим идеи Пуанкаре. Здесь мы не будем вдаваться в детальное обсуждение всех этих работ, а укажем только на различные обзоры рассматриваемого вопроса (Чезари [13.1]: Джакалья [29.1]; Кинер [43.1]). После этого прошло более десяти лет, прежде чем похожие проблемы и задачи возникли в нелинейной теории цепей; они привели затем к появлению метода усреднения Крылова - Боголюбова [39.1], [40.1], который стал доступным для западных математиков благодаря усилениям Лефшеца [67.2]. Работа Брауна [8.1] по нелинейным резонансам была хорошо воспринята после работ Пуанкаре, занимавшегося этой проблемой; в действительности она основана на примерах, которые Браун привел для иллюстрации метода Бохлина. Начиная примерно с 1950 года появилась обширная литература по методам теории возмущений и процедурам усреднения, и специальные ссылки на эти работы будут даваться в соответствующих местах настоящей книги. Что касается чисто аналитических работ, направленных на исследование качественных закономерностей, то для последнего столетия типичными являются работы, посвященные классическому анализу явно зависящих от времени решени11 систем дифференциальных уравнении.

ВВЕДЕШЕ 9

Если даже исходить из различных точек зрения, то первым, кто пытался понять геометрические аспекты дифференциальных систем, был Пуанкаре [60.1]. Его предположение о существовании неподвижных точек у сохраняющих площадь отображений, связанное с решением автономных систем, было доказано Биркго-фом [3.1], чья работа должна рассматриваться как работа, оказавшая наиболее глубокое влияние на развитие понятия решения дифференциальных систем. Будучи без сомнения родоначальником топологии, он ввел такие важные понятия, как инвариантные множества, блуждающие точки и т. д.-все они связаны с геометрическим поведением интегральных кривых систем дифференциальных уравнений. По-видимому, основные проблемы в этой области были решены в знаменитой работе Мозера [55.1] о сохраняющем площадь отображении кольца на себя, в работе Хейла [33.1] об интегральных многообразиях возмущенных систем и в работе Крылова и Боголюбова [39.1]. Более подробные ссылки на литературу будут даны в соответствующих местах прп изучении инвариантных множеств.

Классическими (п вероятно старейшими) методами теории возмущений являются методы типа метода Эйлера - Лагранжа, обобщенного Пуассоном. Основной частью их консервативных аналогов является теорема Якоби о вариации канонических переменных. Так как метод Пуассона является наиболее общим, то он заслуживает здесь особого упоминания, что п будет сделано по мере исторического изложения результатов.

Рассмотрим систему дифференциальных уравиений

x = f{x,t), (1)

где X и /- ге-мерные векторы. Для простоты будем считать, что функция / аналитична в некоторой области D ге-мерного векторного пространства и t е R. Пусть в D величпна

а==а(ж, i) (2)

будет первым интегралом системы уравнений (1). Отсюда следует, что вдоль любого решения системы (1) в области D мы имеем

да да п

дх dt

где о -щ-мерный вектор (тп), так что 9а/-прямоугольная матрица Якоби размерности тУп. Тогда для любого х D пмеем тождество

/(.,0 + = 0. (3)