Android-приложение для поиска дешевых авиабилетов: play.google.com
Главная -> Методы теории возмущений

0 [1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

или, учитывая (3),

<i=-g{x,t). (5)

Уравнение (5) было в общем виде получено Пуассоном и как частный случай содержит уравнения Лагранжа для вариации произвольных постоянных и теорему Якоби. В частном случае динамической системы

ж = / (ж, X, t) + (ж, ж, t)

уравнение Пуассона принимает вид

а = (ж, ж, О, (6)

где а-интеграл при =0.Весьма интересно, что все основные теоремы классической" механики сразу же выводятся из (6). Например, если а является интегралом энергии

E = 4rX-V{x, t),

TO отсюда следует Е • - х, ж справедливо соотношение

E = x-g{x, ж, t),

являющееся основным законом энергии и работы. Если а - интеграл количества движения

L = X X X,

то, записав выражение для - и подставив его в (6), получим соотношение

L = xx g{x,x, t).

Рассмотрим теперь возмущенную систему

x=f{x,t)+g{x,t), (4)

где опять функция g (х, t) предполагается аналитической в области Рассмотрим вариацию интеграла (2) вдоль решения системы (4), т. е.



являющееся утверждением теоремы:

Теорема Якоби. Если а является 2п-мерным вектором, то уравнения (8) являются уравнениями Лагранжа для вариаций произвольных постоянных в случае не зависящих от времени сил.

Классическим подходом к решению уравнений (9) является попытка искать о в виде степенных рядов по некоторому малому параметру и таким образом сводить задачу к методу последовательных приближений. В большинстве случаев эта процедура приводит к появлению секулярных и смешанных секулярных членов, и, следовательно, эти ряды не будут сходящимися для всех моментов времени. Если рассматривать только ограниченные промежутки времени, то в конце концов сходимости можно добиться; по-впдимому, самой ранней работой, посвященной этому вопросу, является работа Макмиллана [71.2]. Мы ссылаемся на эту работу, так как она простая и довольно строгая.

В большинстве достаточно сложных методов усреднения (для гамильтоновых систем) предполагается, что функция Гамильтона

которое является основным законом количества движения и импульса.

Пусть система уравнений (1) является гамильтоновой {х - 2и-мерный вектор), так что

X = МН1, (7)

где Н - Н {х, i), Л/- каноническая матрица размерности 2и X

(О 1\ = 1-7 oh

а. I а О - единичная ц нулевая матрицы размерности и X Положим

Если о - первый интеграл системы (7) при Н = Hq, т. е. о находится в инволюции с Но, то

Если, кроме того, матрица Якоби / = да/дх является симплекти-ческой (т. е. преобразование 35->о каноническое), то отсюда следует соотношение



2л-перподнчна по каждой из угловых переменных г/i, . . ., i/„ п представляется сходящимся рядом Фурье

H = Ajix)exp{py), (10)

где / == (il, /2, /„) -целочисленный вектор.

Уравнения, соответствующие функции Гамильтона (10), имеют вид

Если рассматривать только часть функции Н, соответствующую /= О, т. е.

0= Л (ж),

то система уравнений (И), очевидно, является интегрируемой, п ж = Жо, г/ = (О (Жо) t - г/g, (12)

Если в некоторой области величины Aj (ж) при / О таковы, что их производные малы (в некотором смысле) по отношению к СО; (ж), то величину Н - Но можно рассматривать как возмущение. При классическом подходе говорят, что если эта ситуация имеет место, то решение уравнении (И) никогда не уходит слишком далеко от решения (12). Такое предположение в данном случае, очевидно, неверно и редко иодтверждается, даже если рассматривать только «орбитальную близость», не обращая внимания на время. В действительности «временная близость» соответствующих точек чаще всего разрушается возмущениями. По аналогии с понятием устойчивости здесь можно сказать, что более распространенной является орбитальная, а не ляиуновская усто11чивость.

В любом случае, используя (12) в качестве опорного решения с модифицированным вектором частот v (Жд) и используя метод итераций, мы получаем формальные ряды

х = х, + iyT()exp [i ipv) t].

2Dj (Xo) (13)

где V = + eoii + e-Wj 4 ... Ясно, что произведения p\ = /ivi + + /2V2 + . . . + /„v„, стоящие в знаменателях, могут стать сколь



0 [1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104



0.0231
Яндекс.Метрика