/(S>e) = 2-S-"+i()

п=0 и

оо и

Lsf а, е) = 2 2 Cim+l/n-m(g).

п=о т=0 Тогда, представляя As/ в виде ряда

находим

fn (S) = fn+i (g) + S Cim+l/n-ж (g)

Ж, следовательно,

/ (S) = /i -f ii/o = /i + (/o, S,).

Вводя аналогичным образом ряды

Следовательно, из определения Es получаем соотношение /(z(g,e),e) = £s/(g,8),

которое совпадает с (1.5.11).

Интересным частным случаем правила , преобразования (1.5.11) является случай, когда (g, е) и /(g, е) представляются степенными рядами по е, т. е.

5(S,e) = 2 5«+1(?Ь (1.5.12)

/(Se) = 2/n(S). (1.5.13)

71=0

В этом случае введем определение

Ь, = Lj, (р.> 1),

так что с помощью результатов предыдущего параграфа найдем

находим

и, следовательно,

или, используя выражения для /о\ fi\ получаем

fo(S) = /2 + 2 (/1, S,) + (/„, 5,) + ((/„, S,), S,).

Таким образом, получаются общие рекуррентные формулы преобразования функции / (z, 8) при преобразовании, задаваемом рядами Ли с генератором S (z, е) в случае, когда обе эти функции являются вещественными аналитическими функциями всех переменных, а е берется из некоторой окрестности точки е = 0:

fi (g) = /LVi4 2 C:Lm+,fiir\ (1.5.14)

Эту формулу можно проиллюстрировать следующим символьным треугольником

{»

/2-/1 -/0

\ \ \

\ \ \ \

Интересным частным случаем является закон преобразования вектора z = coI(y,a;). Каноническое преобразование задается формулами

У = 8(л) = 2-Й-о"(0),

6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 39

где коэффициенты Vo"* = Vo" 0) и о"* = 0) определя-

ются в результате описанной выше рекуррентной процедуры. В (1.5.15) очевидно Ло"* =г\ и Г = .

Все описанные выше процедуры можно обобщить на случай явной зависимости канонического преобразования от времени. Один из способов получить этот результат заключается в том, чтобы принять время за добавочную каноническую координату, тогда сопряженным импульсом будет сам гамильтониан). Такой путь сразу же приводит к алгоритму, описанному детально в работе Депри [17].

6. Эквивалентность преобразований

В предыдущих параграфах мы описали несколько способов получения канонического преобразования в виде ряда по степеням параметра е. Такие преобразования можно записать в виде

jr = jr(il, I, 8), Ж = ж(11, 1,8) (1.6.1)

Z=-Z(?,8), (1.6.2)

гдеж, у,т], I- п-мерные векторы, а z, ?- 2ге-мерные векторы. С помощью генератора, удовлетворяющего уравнению Гамильтона-Якоби, т. е. с помощью генератора, который требуется в методе теории возмущений Пуанкаре, преобразование (1.6.1) можно записать так:

= + (S) = () 1 = + (У=1(т1,,е), (1.6.3)

где W = W {г\,х,е) -производящая функция. Условие

\¥{ц,х,0) = 0 (1.6.4)

указывает на то, что преобразование (1.6.1) является преобразованием, близким к тождественному при достаточно малых е.

Преобразование аналогичного типа, как было видно, осуществляется с помощью генератора •S= 5 (г/, ж, е), которому соответствует решение такой гамильтоновой системы дифференциальных уравнений:

dS\ дх

dx Ids

dz \ду

) Гамильтониан со знаком минус {прим. перев.).