Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Методы теории возмущений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [100] 101 102 103 104

существует преобразование

где F - 2л-периодическая матрица размерности (я-1)Х«. Это преобразование обладает следующими свойствами.

а) Уравнение У = Y(y) переходит в уравнения

в = со + /(ж, в), xg{x,Q),

где / (О, в) = (0,в)=0.

б) Соотношения 9t=cof + const, х = 0, определяют периодическое решение у ~ У (wi).

в) Матрица dg{Q, Q)ldx =Q, имеющая размерность (re - - \) {п- 1), не зависит от 9, так что вариационная система

приводится к виду 9= в, бж = Оба;. Собственные числа матрицы Q являются характеристическими показателями Флоке - Ляпунова.

Теперь вопрос заключается в обобщении этих результатов на случай, когда уравненпя У = Y (у) имеют условно-перподическое решение у =(«1, сог), где вектор у имеет размерность п, а тп или т>п. Точнее, мы хотим знать, существует ли такая система нормальных координат 9 = (6i, ..., 6m), х = {х,...

..., Хр), что уравнения У = Y(у) приводятся к виду e=F(e,x), x=G{Q,x),

где F, G - 2л-периодические функции по каждой переменной ди, а F (9, 0) = (О f= (coi,..., ю™) = const и G (9, 0) = 0. Условно-периодическое решение у {(ot) переходит в решение 9* = »= (ut + const, X - О, а система уравнений в вариациях приобретает вид

9=F(e,x), 8х=§{В,0)Ьх,

где dG{Q,0)ldx =Q -постоянная матрица размерности р У, р. Собственные числа матрицы Q в этом случае были бы обобщенными показателя ми Флоке - Ляпунова для условно-периодического решения у{ш1). С другой стороны, если сразу же дана система с этими свойствами, т. е. с самого начала известны нормальные координаты, то эквивалентной задачей является задача определения инвариантного многообразия а; = 0. Таким многообразием, очевидно, являются торы размерности т, погруженные в {р -\- яг)-мерное пространство, с угловыми координатами



6i,..., 0m на них. Собственные числа Qi,..., Qp матрицы Q и компоненты (й1,..., Cum вектора (о являются характеристическими числами Мозера [19], а все со по предположению являются рационально независимыми.

В таком обобщенном случае основное, что надо доказать, это - приводимость вариационной системы для условно-периодического решения. При и = 1 и m 2 (условно-периодические решения одномерной системы) такая приводимость ири некоторых условияс была показана, однако об остальных случаях (п > 1) ничего не известно. (См. работы Гельмана [8] и Андриановой [1], цитированные Арнольдом.)

Другой важной проблемой, упомянутой несколько выше, является изучение совокупности движений в окрестности положения равновесия. Для неканонических систем приводимость к нормальной форме была показана Зигелем «[26], однако, как уже говорилось, для канонических систем необходимые предположения не могут быть выполнены. Общий случай изучения совокупности движений в окрестности периодического решения также является открытым вопросом для канонических систем. Он обсуждался в работе Зигеля [27], но остался нерешенным. Наиболее общей формой этой проблемы является грандиозная задача изучения совокупности движений в окрестности условно-периодического решения. Важные результаты в этой области были получены в работе Белаги [3]. Эта проблема, представленная Мозером [19] как задача о сохранении условно-периодических решений, уже обсуждалась выше. Его результаты похожи на результаты, полученные Белагой, главную теорему которого мы приводим ниже.

Теорема. Рассмотрим систему уравнений

х= Ax + f{x,y), У -=<й + g{x,y),

где X- вектор размерности п, у - вектор размерности т, матрица А = diag {Xl, Хп), а f = 0(х), g = О(х) - 2л-периодиче-ские функции относительно у={yi, . . ут). Рассмотрим бесконечное количество условий

I (fci -f ... -f KXr,) - гХ) -f Y~i (ZjWi-f ... -f lfi>) I >

-f ... -f (/cj-f I ill + ... -f I

для некоторого К>0, ее [О, 1], /==1, ..., щ все числа к\, ...

кп, 1\, 1т -целые, а \h\-\-.. .-\-\kn\ > i-\-г. Тогда существует аналитическое преобразование

Х = х + {х,у), Y = у + <1{х,у), приводящее данную систему к виду

Х = АХ, У=й).



) Относительно различного рода синхронизмов в небесной механике см. таг;жс работы В. В. Белецкого, в частности, книги [43*, 2*] (прим. перев.).

функции ф, ф - 2я-периодические по у и • Ут, а Ф = (ж),

Однако такая теорема неприменима к каноническим системам в том смысле, что системы, удовлетворяющие описанным выше условиям относительно ю, Л, образуют множество нулевой меры в пространстве (о, Л). Результаты Мозера только показывают существование сходящегося метода построения условно-периодических движений. Вся совокупность таких движений неизвестна.

Ясно, что все эти вопросы могут быть обобщены па случай динамических систем с более чем одной независимой иеременной или на случай функциональных дифференциальных уравнений. Об этих уравнениях см. работу Хейла [И].

Другой проблемой, представляющей большой интерес, является вопрос о лучшем понимании решения «вдали, вблизи и при выполнении резонансных условий». Когда мы в действительности будем иметь процесс захвата в резонанс и какое наиболее предпочтительное определение резонанса системы? Для сильно возмущенных систем это - полностью открытый вопрос. Наличие диссипативных сил имеет здесь болыиое значение, но может п не быть решающим фактором при выборе некоторых устойчивых резонансных конфигураций. Интересный пример такого рода в небесной мехапике недавно был изучен в работах Коломбо [4] и Кинера [17]. Действительно, явление резонанса между средними движениями планет и их спутников, как орбитальными, так и движениями относительно центра масс, мояет служить темой д.чя дискуссии. См., например, работы Гингерича [9], Хенона [12], Молчанова [20, 21] и Роя и Овендепа [25]).

Существует также ряд вопросов, связанных с изучением ди-нампческпх систем в алгебре Ли. Онп могут быть связаны (а могут и не быть связаны) с методами теории возмущений, использующими преобразование Ли, хотя известно, что движение, соответствующее гамильтониану Н, образует группу Ли в алгебре Ли, определенной скобками Пуассона (F„ F,)t=0, где F,{i, j = = 1, . .., п) - интегралы системы уравнений с функцией Гамильтона Я, если только они существуют. С этой точки зрения, используя алгебру Ли (для операторов), Мозер [19] описал ясный подход к изучению задачи возмущений условно-периодпческих движений. С помощью аналогичного подхода можно описать в более точных терминах .методы теории возмущений, введенные Хори [13]. По существу, эту задачу можно рассматривать как задачу построения алгебры операторов и определения их области действия и нуль-пространства. В задаче формального приведения



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [100] 101 102 103 104



0.0132
Яндекс.Метрика