с начальными условиями у - г\, ж = при 6 = 0. Справедливо следующее основное утверждение об эквивалентности преобразований.

Теорема (Шнайад [63]). Генераторы W и S, удовлетворяющие описанным выше условиям, удовлетворяют также соотношению

8{у,х,г) = -{щ,х,г), (1.6.6)

Щ ==у{ц,х,г). (1.6.7)

В самом деле, после применения преобразования (1.6.3) к системе (1.6.5) новый гампльтопиан (т], , е) в соответствии с теорией Гамильтона-Якоби определяется формулой

S (ц, I (л, X, г), г)8{у {ц, х, е), ж, е) - {ц, х, г). (1.6.8)

С другой стороны, величины и по определению должны быть постоянными, и, следовательно, гамильтониан S{г\, \, е) должен быть тождественно равен нулю, что и доказывает теорему.

Теперь, вспомнив, что в общем случае функции W vl S представляются степенными рядами по е, найдем связь между коэффициентами этих двух рядов. Действительно, так как функция S тождественно равна нулю, то соотношение

(i + (lf). -.=)-f(4-.«) = o С-в-Э)

должно удовлетворяться тождественно при любых значениях 2п + 1 независимых переменных т], х, е. Запишем S ж W в виде рядов

8{у,х,г) = S 5„+1(у,ж)б",

(1.6.10)

Т(л,ж,б)= 2 \¥г{ц,х)г-,

где переменные у определяются формулами (1.6.7).

Подстановка рядов (1.6.10) и (1.6.7) в (1.6.9) приводит к рекуррентным соотношениям

iiWb -3 + j + ("rj [dxj + 2 дх дц [dj

/(6) = sin

и ее разложение в ряд Тейлора вблизи е = 0. Можно провести это разложение следующим образом. Пусть

sinj=siHj-.

н Т. Д. Здесь dSJdr] и производные высших порядков вычисляются по формуле dSn/dr\\y-. В общем случае в работе Мерс-мана [51] найдено, что

где второе суммирование осуществляется по всем наборам из А; + 1 целых положительных чисел ро, Ри . ., Рк, таких, что ро + -\- pi + • ~i- Рк - п i. Соотношения (1.6.11) полностью эквивалентны соотношениям, первоначально полученным в работе [28] при нахождении явных формул для метода Цейпеля (Пуанкаре). Рекуррентные формулы (1.6.11) теперь можно использовать для установления явной связи между генераторами, определяемыми методом Пуанкаре и методом Хори и Депри с помощью рядов Ли. Эти соотношения детально исследованы в работе [51]. Эквивалентность формул Хори и Депри устанавливается косвенным образом при внимательном изучении того факта, что при оригинальном подходе Хори генератор S может на самом деле считаться функцией е, хотя в этом случае ириведенное доказательство теоремы Ли не годится. Впервые дискуссия по этому вопросу была открыта в работе [10] в связи с обсуждением некоторых отрицательных замечаний Депри [17] о теории Хори. Аргументация авторов этой работы по существу сводится к тому, что они считают генератор S принадлежащим некоторому одно-параметрическому семейству (параметр семейства ео), затем строится преобразование при фиксированном значении параметра и показывается справедливость построений для любого значения 8 параметра ео. Аналогичный прием весьма успешно применил Пуанкаре [58] в задаче, в которой одному и тому же параметру фиктивно присваивалось два разных наименования; Пуанкаре проводил разложение по двум параметрам, а на последнем этапе опять употреблял одно наименование параметра.

Для примера вслед за Пуанкаре рассмотрим функцию

р=0 \.п=0

которое, как нетрудно проверить, по существу является точным разложением функции /(е) в ряд Тейлора.

В рассматриваемом случае, возвращаясь к оператору

exp(6Ls) = 2

находим, что свойство

exp(6Ls)(/, g-) = (exp(8Ls)/, exp(8Ls)g)

не зависит от того, будет ли функция S зависеть от е или нет. Следовательно, в силу того, что вышеприведенное свойство является основой доказательства каноничности преобразования

Z = ехр (eLs) g,

находим, что его можно применить и при доказательстве в случае Хори.

7. Обобщенные преобразования на основе рядов Ли

Рассмотрим п-мерное векторное пространство и неособенное вещественное аналитическое преобразование точки х в точку у этого пространства, определяемое формулами

У = +Ут{х), (1.7.1)

гдеу„ - п-мерные векторы, а е - параметр, не зависящий от х. При 8 = 0 преобразование (1.7.1) будет тождественным, а при достаточно малых е и при условии сходимости рядов (1.7.1) это

Тогда разложение в ряд Тейлора имеет вид

оо ОО

п=0 т=о

Вспоминая, что ц равно е, получим выражение