|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 преобразование будет близко к тождественному. Однако мы будем считать выражения вида (1.7.1) лишь формальными рядами и применять к ним все правила операций со сходящимися рядами (см., например, [И]). Одной из целей всех последующих выкладок является создание простого алгоритма преобразования произвольной векторной функции Р{у,г) после применения преобразования фазовых переменных по формулам (1.7.1). Результат мы хотим получить в виде степенного ряда по е, т. е. хотим найти коэффициенты в разложении F{y (ж,б),е) = 2п ()- (1.7.2)- Ясно, что для того, чтобы ряды (1.7.2) существовали, векторная функция F должна быть вещественной и аналитической по е при 6,- 0. Предположим также, что она является вещественной аналитической функцией по у. Хори [35, 36] и Кэмел [37] независимо развили два разных алгоритма, главная цель которых состоит в решении при помощи формальных рядов задач нелинейных колебаний. Описание применений этих алгоритмов будет приведено в следующей главе. Здесь мы ограничимся описанием упомянутых выше формальных разложений. По предположению функцию F(a;, е) можно разложить в ряд d"F {X, е) \ ае" 2Fn(), (1.7.3) а также в ряд F(x (у,г),г) = Е\у), F">==£„F(.,e) ( д . дх д\п , , (1.7.4) а преобразование х - х(у,г) является обратным к преобразованию (1.7.1) и оно предполагается существующим. Обращая (1.7.1), мы можем также записать так: ё = Т(х,г), (1.7.7) сю оо Т{х,в) = Х-+{у)==2Тп+,{х). (1.7.8) п=0 п=0 Тогда имеем i = I + SI = I + = I + r, (1.7.9) где оператор Ьт, определяемый выражением Ьг = Т{х,г)£, (1.7.10) действует на произвольную вещественную аналитическую функцию f{x,s). В последнем выражении Т{х, е) считается n-мерной вектор-строкой, а д/дх-п-мерными вектор-столбцами. Теперь мы получаем й(-)=2;-&п(ж)= f п+1 (ж) + 2 2 "+1 - п=0 п=0 т=0 □о 2 Ч). (1-7.11) п= f5,i> (а;) = Fn+i (X) + 2 СТп-г, (х) % = = f п+1 (Ж) + 2 СпТ,+1 () (1-7-12) так что Выражение для дх/де ясно указывает, что переменные у при этом считаются постоянными. Выражение (1.7.6) можно записать or n-m F<« {X) = FLVf > {X) + 2 {X) Ц при А;1и»0, a F<„» (x) = F„ , (X) = F" (x) = F"> (y) (1.7.13) (1.7.14) (1.7.15) Уравнение (1.7.14) является основой рекуррентного алгоритма получения коэффициентов F" (ж) по F„ (ж) в рядах (1.7.4) и (1.7.3). Наименование переменных, разумеется, является условным. Соответствующие формулы получения коэффициентов F„ (ж) по коэффициентам F" (ж) имеют вид F„« = F+/> - 2 C-iT™+i (ж) (1.7.16) где n 1 и ft 0. Последовательная подстановка формул (1.7.16) друг в друга, начиная с п = 1, дает (1.7.17) где 1, ft О, а линейные операторы Л, (/ 0) определяются формулами iVo = l, . = - 2 Cr-7Ai-mfТ„ (ж) 1 = - 2 CfZ,N;J. (1.7.18) m=l m=l при / > 1 И = () Например, первые несколько операторов iVj имеют вид iVo=l, Nb = - NiLx - 2iViL2 - Lb, (1.7.19) В общем случае мы получаем 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0093 |
|