что можно переписать так

= 2 CiF,,„ ,, (1.7.20)

Fi,k = - 2 CT-UmFi-rn,k. (1.7.21)

Здесь по определению

Формулы (1.7.20) дают возможность рекуррентного получения величин F" через F„ или величин F„ через F". Как было обнаружено Кэмелом, они являются наиболее простыми из всех возможных формул.

Векторное преобразование. Коэффициенты Уп (х) в (1.7.1) теперь можно легко получить по формулам (1.7.16), примененным в специальном случае (1.7.3). Тогда получаем

f" F = y, F<> = 0, /с>0,

FT =F = y, {X).

Действительно, формулы (1.7.16) в этом случае дают Уп {X) = - 2 {X) "--

7»=0

или, считая р =\ т -\- \,

Уп(х) = -±сгЛтАх)

у (X) = -Т{х)-2 Сп-\Т, (х) "-fK ал.22) р=1

В частности, при к =0 уравнения (1.7.17) дают

Рекуррентные соотношения (1.7.21) с учетом (1.7.8) дают

XiAy) = - 2 с1Тм§-х-шАу),

" {у) - Г„ {у) - 2-1 (у),

(1.7.23)

Xo,k = Х (У).

Применения полученных выше результатов будут описаны в следуюш;ей главе, где мы будем иметь дело с проблемой интегрирования нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

8. Замечания

Линдстедт [46] показал значение развития метода теории воз-муш;ений, который дает возможность исключить секулярные и смешанные секулярные члены при исследовании возмуш;енных гармонических осцилляторов. Этот метод он описал различными способами, но всегда подразумевалось, что возмуш;аюш;ие силы должны быть четными или нечетными функциями входяш;их в них угловых переменных. Вскоре это ограничение было снято Пуанкаре [57-60]. В своих прославленных «Новых методах» (т. 2) [58] он развил канонический аналог метода Линдстедта, который дажб на сегодняшний взгляд кажется очень общим и детально разработанным. Однако ясно, что основная идея метода Пуанкаре восходит к работам Делоне [16] и некоторым дополнениям Тиссерана [68] к теории движения Луны, развитой Делоне. В действительности можно даже вернуться ко второй теории движения Луны, разработанной Эйлером [23]. Последний, очевидно, отдавал себе отчет (и это видно при сравнении двух

Обратное преобразование получается из (1.7.14) или непосредственно из (1.7.21).

Действительно, в обозначениях выражений (1.7.4) получаем

F{x {у,г),г) = х,

F = y, F<">(y) = Z<">(),

) Заметим, что основные теоремы работ [12, 24 - 27, 30], доказанные при помощи метода сжимающих отображений, позднее бьши естественным путем получены В. А. Якубовичем (см., например, [22*]) только на основании теорем Ляпунова (прим. перев.).

его лунных теорий между собой) о значении разложений частот возмущенных систем в степенные ряды по малому параметру задачи. Эти теории оказали большое влияние на работу Пуанкаре [58]. Заслуга Цейпеля состоит, главным образом, в применении метода Пуанкаре к теории движения хорошо определенных систем, хотя систематическое выделение членов разного периода при разложениях возмущений безусловно является важным вкладом в теорию возмущений, особенно если учесть тот факт, что различные короткопериодические колебания малоинтересны, а наибольшее значение имеют долгопериодические или секулярные члены. Вообще методы усреднения (в том смысле, в котором они употребляются в книге Чезари [12], [13]) были весьма популярны в небесной механике, хотя и без изучения проблемы их сходимости. Возможно, это произошло из-за вполне определенных утверждений Пуанкаре о расходимости рядов Линдстедта. Такие ряды использовались и продолнают использоваться для достаточно точного прогноза положения различных небесных тел. Крылов и Боголюбов [39], [40] дали некоторые оценки ошибок, получающихся при отбрасывании членов ]4ыше некоторого порядка, а как следствие новых успехов в небесной механике в 60-х годах эти оценки были улучшены Кинером [42], [43]. До некоторой степени удивительно, что в западной литературе существует огромный пробел в описании проблем, связанных с линейными и нелинейными колебаниями,- область, весьма хорошо представленная в советской литературе, особенно начиная от работ Ляпунова и до 1950-х годов. Вся небесная механика развивалась в результате использования имевшихся к концу прошлого века достижений классического анализа, а также результатов из нелинейной теории цепей, и похоже, что механические системы для западных математиков не являются, чем-то очень привлекательным. Выдающаяся работа Чезари [12] в 1940 году не сразу получила законное признание, в то время как в ней впервые содержалось доказательство сходимости метода усреднения для широкого класса задач. Интересные работы Гэмбилда [24] - [27] и Хейла [30] - [33] появились болеее чем через десять лет). Работы Биркгофа [3] -[5], Зигеля [64], [65]и Уинтнера [69] были больше направлены на математические аспекты качественных свойств динамических систем. Одновременное изучение Биркгофом пространственного движения в ограниченной задаче трех тел и численные эксперименты Стремгрена [66] были оценены совсем недавно и обобщены в ценной работе Себехея [67].