) Об Универсальных Переменных см., например, [3*] {прим. перев.). 4 г. Е. о. Джакалья

Мультон [53] и Макмиллан [47] также должны фигурировать в списке ученых, которые получали одновременно и теоретические, и численные результаты. Аналогично Адаме и Дарвин [15]. Метод Пуассона [61] вариации интегралов движения является одним из немногих методов, использовавшихся в течение долгого времени. В современной литературе он был возрожден Кирхом [41] ив связи с разными проблемами и под разными названиями упомипается в работах Дэнби [14], а также Брауэра и Клемен-са [7]. Недавно во многих работах он появился под названием Универсальных Переменных в ньютоновской задаче двух тел)-Использование векторного и матричного исчисления также еще встречается редко в книгах, написанных более чем через сто лет после окончательной разработки этого аппарата. Книги Зигеля [65] и Абрахама [1] показывают эволюцию классических математических представлений одних и тех же проблем в наши дни. Определение матриц Лагранжа и Пуассона вообще трудно найти где-нибудь, и приходится ссылаться на работы по квантовой механике и теории поля. Доказательство условий симплектичности для канонических преобразований весьма упрощается при использовании матричных обозначений. Связь между анализом нелинейных цепей, методами нелинейной механики и классическими методами усреднения в небесной механике вполне отчетливо показана в работе Чезари [13]. Эквивалентность метода Крылова - Боголюбова - Митропольского и метода Цейпеля впервые показана в работе Бурштейна и Соловьева [9]. Усилия по созданию наилучшей теории движения искусственных спутников до некоторой степени инициировали появление новых исследований по аналитической и геометрической теориям. После 1960 года стало ясно, что появились два встречных потока исследований в теории нелинейных колебаний и в небесной механике. Ключевые работы в этой области выполнили Мозер [54] - [56], Хейл

30] - [33] и Дилиберто [18] - [21], а в Советском Союзе - Колмогоров [38], Арнольд [2] и Мерман [48]. Важный шаг в сторону (и вперед) от работ Пуанкаре и Биркгофа был сделан Хори [34], который использовал канонические отображения Ли. Всего за год до этого ряды Ли использовались в работе Лейманиса [44], посвященной изучению движения твердого тела, однако без попыток применения методов теории возмущений. Распространение этих результатов на неканонические системы было осуществлено в докладе Хори [35] и независимо в работе Кэмела

[37]. Однако такое обобщение является несущественным, так как любую систему можно записать в гамильтоновой форме, на что впервые указал Дирак [22]. Этот факт был хорошо известен исследователям по теории оптимизации и теории управления, хо-

ЛИТЕРАТУРА

1. Abraham R. Foundations of Mechanics.-Philadelphia: W. A. Benjamin Inc., 1967.

2. Арнольд В. И. Малые знаменатели п проб-иемы устойчивости движения в классическо11 и небесной механике.- УМН, 1963. т. 18, №-6, стр. 91-492.

3. Birkhoff G. D. Proof of Poincares geometric theorem.-Trans. Amer. Math. Soc, 1915, vol. 14, N 1, p. 14-22.

4. В i г к h о f f G. D. The restricted problem of three bodies.- Rend Circ. Mat. Palermo, 1915, vol. 39. p. 1-115.

5. Виркгоф Дж. Д. Динамические системы.- М.-Л.: Гостехиздаг, 1941.

6. В г е V е s J. А. А new proof of the conaitions for a canonical transformation. Seminars Univ. of Sao Paulo, 1968.-In: Celest. Mech., 1972, vel. 6, No. 1.

7. В pay эр Д.. Клсменс Дж. Методы небесной механики.-М.: Мир, 1964.

8. В г о W п Е. W. rjements of theory of resonance.- Houston: Rice Inst. Publ., 1931, N 19.

9. Вурштейн Э. Л., Соловьев Л. С. Гамильтониан усредненного двп-жения.-ДАН СССР, 1961. т. 1-39. № 4. стр. 855-858.

10. С а m р b е 11 J. А.. J е f f е г у s W. Н. Equivalence of the perturbation theories of Hori and Deprit.- Celest. Mech., 1970, vol. 2, N 4, p. 467-473.

11. Cart an E. Elementary theory of analytic Functions of one or several complex variables.- Massachusetts: Addison-Wesley Reading, 1963.

12. Cesari L. Sulla stabilita delle soluzioni dei sistemi di equazioni difte-renziali lineari a coefficient! periodici. Atti Accad. Ital. Mem. Clas. Fis. Mat. e Nat., 1940, t. 11, p. 633-692.

13. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: Мир, 1964.

14. Dan by J. М. А. Fundamentals of celestial mechanics.-New York: MacMillan, 1962.

15. Darwin G. H. Scientific papers.-London. Cambridge Univ. Press, 1911.

16. Delaunay C. E. Paris: Mem. Acad. Sci., 28, 29 (entire volumes), 1860-1867.

17. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter.- Celest. Mech., 1969, vol. 1, № 1, p. 12-30.

18. D i 1 i b e r t о S. P.. H u f f о r d G. Perturbation theorems for nonlinear ordinary differential equations.-Ann. Math. Studies, 1956, vol. 36, p. 207-236.

19. Diliberto S. P. Perturbation theorems for periodic surfaces, I and II.-Rend. Circ. Mat. Palermo, 1960, vol. 9, p. 265-299: 1961, vol. 10,

p. in.

20. Diliberto S. P., Kyner W. Т., Freund R. F. The application of periodic surface theory to the study of satellite orbits.- Astron. J., 1961, vol. 66, N 3, p. 118-128.

тя большинство прикладных математиков, работавших в затронутых в настоящей книге областях, ничего об этом не знали. Ранними работами в этой области, насколько нам известно, являются работы Минера, Тэпли и Пауэрса [52]. Наконец, операции с формальными рядами, как с обычными сходящимися, обосновываются, например, в работе Картава [И]. По-видимому, это не первая работа, но одна из лучших.

21. Diliberto S. P. New results on periodic surfaces and the averaging principle. US-Japanese Semin. on Diff. Func. Equas.- Philadelphia. W. A. Benjamin Inc., 1967, p. 49-87.

22. Dirac PA M. Generalized hamiltonian dynamics. London, Proceed. Roy. Soc, 1958, vol. A 246, p. 326-332.

23. Euler L. Theoria motus Lunae, novo methodo. Petrop., 1772.-In: Brown E. W. Lunar theory.- New York: Dover Public, 1960.

24. G a m b i 11 R. A. Criteria for parametric instability for linear differential systems with periodic coefficients.-Riv. Mat. Univ. Parma, 1954, vol. 5, p. 169-181.

25. Gam bill R. A. Ibidem, 1955, vol. 6, p. 37-43.

26. Gambill R. A. Ibidem, 1955, vol. 6, p. 311-319.

27. G a m b i 11 R. A., Hale J. K. Subharmonics and ultraharmonics solutions of weakly nonlinear systems.-J. RAT. Mech. Anal., 1956, vol. 5, p. 353-398.

28. G i a с a g 1 i a G. E. O. Notes on von Zeipels method. GSFC-NASA Publ. X-547-64-161, Greenbeit, 1964.

29. G i a с a g 1 i a G. E. O. Evaluation of methods of integration by series in celestial mechanics. Ph. D. Dissertation, Yale University, New Haven, 1965.

30. H a 1 e J. K. On the boundedness of the solution of linear differential systems with periodic coefficients.- Riv. Mat. Univ. Parma, 1954, vol. 5, p. 137-167.

31. Hale J. K. Periodic solutions of nonlinear systems of differential equations.- Riv. Mat. Univ. Parma, 1954, vol. 5, p. 281-311.

32. H a 1 e J. K. Sufficient conditions for the existence of periodic solutions of first and second order differential equations.-J. Math. Mech., 1958, vol. 7, N 2, p. 163-172.

33. H a 1 e J. K. Integral manifolds of perturbed differential equations.- Ann. Math., 1961, vol. 73, N 3, p. 496-531.

34. H 0 r i G. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables.-J. Japan. Astron. Soc, 1966, vol. 18, N 4, p. 287-296.

35. H 0 r i G. Lie transformations in nonhamiltonian systems. Lecture Notes, Summer Institute in Orbital Mechanics, The Univ. of Texas at Austin, May 1970.

36. H о r i G. Theory of general perturbations for noncanonical systems.- J. Japan. Astron. Soc, 1971, vol. 23, p. 367-587.

37. К a m e 1 A. A Perturbations methods in the theory of nonlinear oscillations.- Celest. Mech., 1970, vol. 3, N 1, p. 90-106.

38. Колмогоров A. H. Общая теория динамических систем и классическая механика. Международный математический конгресс в Амстерда-ме.~М.: Фжзматгиз, 1961, стр. 187-208.

39. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний.- Киев: Изд-во АН УССР, 1934.

40. Крылов Н. М., Б о г в л ю б о в Н. Н. Введение в нелинейную механй-ку.-Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

41. К U г t h R. Introduction to the mechanics of the Solar system. (Chapt. Ill, Section 3).-New York: Pergamon Press, 1959.

42. Kyner W. T. Qualitative properties of orbits about an oblate planet.- Comm. Pure Appl. Math., 1964, vol. 17, N 2, p. 227-231.

43. К у n e r W. T. Averaging methods in celestial mechanics. Proc. Intern. Astron. Union Symp., No. 25, Saloniki, Greece, 1964. New York, Acad. Press, 1967.

44. L e i m a n i s E. The general problem of motion of coupled regid bodies about a fixed point.-New York, Springer-Verlag, 1965, p. 121-128.

45. L i e M. S. Theorie der transformationgruppen. (vol. 1, I) Leipzig, Teubner, 1888.