46. Lindstedt А. Beitrag zur integration der differentialgleichungen der storugtheorie. Abh. K. Akad. Wiss., St. Petersburg, 1882, b. 31, No. 4 (cm. также: Comptes Rendus Acad. Sci., Paris. 1883, t. 3; Bull. Astron., 1884, vol. 1, p. 302).

47. M a с M i 11 a n W. D. Dynamics of rigid bodies.- New York, Dover Publications, 1920, p. 403-413.

48. M e p m a h Г. A. Почти-периодические решения и расходимость рядов Линдстедта в плоской ограниченной задаче трех тел.-Бюл. Ин-та теорет. астрон., 1961, т. 8, стр. 5-133.

49. М е г s m а п W. А. А new algorithm for the Lie transformation.- Celest. Mech., 1970, vol 3, N 1, p. 81-89.

50. M e r s m a n W. A. A unified treatment of Lunar theory and artificial satellite theory.- В кн.: Periodic Orbits, Stability and Resonances /Ed. G. E. O. Giacaglia.- Dordrecht, Holland: Reidel Pub. Co., 1970.

51. Mersman W. A. Explicit recursive algorithm for the construction of equivalent canonical transformations.- Celest. Mesh., 1971, vol. 3, N 3. p. 384-389.

52. M i n e r s W. E., T a p 1 e у B. D., P о w e r s W. F. The Hamilton - Jacobi Method applied to the low-thrust trajectory problem. Proc. 18-th Cong. Intern. Astronaut. Fed., Belgrade, Yugoslavia, 1967.

53. M о u 110 n F. R. et al. Periodic Orbits. Washington, Carnegie Inst. Wash. Publ, No. 161, 1920.

54. M 0 s e r J. Nonexistence of integrals for canonical systems of differential equations.-Comm. Pure Appl. Math.,1935, vol. 8, p. 409-436.

55. Мозер Ю. К. О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь.-Математика, 1962, т. 6, № 5, стр. 51-67.

56. М 03 ер Ю. Лекции о гами.п.токовых системах.-М.: Мир, 1973

57. Poincare Н. Sur la methode de М. Lindstedt.-Bull. Astron.. 1886, t. 3, p. 57.

58. Пуанкаре A. Новые методы небесной механики т 1,2. Избр. тр., М: Наука, 1971-1972.

59. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике.-М.: Наука. 1965

60. Пуанкаре А. Об одной геометрической теореме. Избр. тр.-М.: Наука, 1972, т. 2.

61. Р о i s s о п S. D. Memoire sur la variation des constantes arbitraires.- J. Ecole Polyt., 1834, t. 3, p. 266-344.

62. P о w e r s W. F., T a p 1 e у В. D. Canonical transformation applications to optimal trajectory analysis.-AIAA J., 1969, vol. 7, N 3, p. 394-399.

63. S h n i a d H. The equivalence of von Zeipel mappings and Lie transforms.- Celest. Mech., 1969, vol. 2, N 1, p. 114-120.

64. Зигель К. Л. Об интегралах канонических систем.-Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 103-117.

65. Зигель К. Л. Лекции по небесной механике -М : ИЛ.

66. Stromgren Е. см. стр. 551-553 в [671.

67. S Z е b е h е 1 у V. Theory of orbits - the restricted problem of three bodies.- New York: Acad. Press, 1967.

68. T i s s e r a n d F. Traite de mecanique celeste.- Paris: Gauthier-Villars, 1896, 4 vols.

69. Уинтнер A. Аналитические основы небесной механики.- М.: Наука, 1967.

ГЛАВА II •

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ. ОБОБЩЕНИЯ

1. Введение

Эта глава имеет две главные цели. Во-первых, описьгваютоя известные методы канонической теории возмущений и приводятся некоторые примеры, на которых основываются теоремы в главах III и IV. Во-вторых, описываются некоторые основные результаты, касающиеся итеративных процедур, которые играют очень важную роль в методах усреднения. Важнейшие, часто нересе-каюгцнеся друг с другом, результаты в этих областях получили Линдстедт [70], Пуанкаре [91], Уиттекер [102], Зигель [96

59], Арнольд [3, 4 Мозер [78], Хейл

Крылов [61], Боголюбов [7], Колмогоров Дилиберто [32], Плиос [89], Кинер [63

[47]. Многие из этих результатов сообщили и подробно описали в своих ценных книгах Зигель [98], Уинтнер [104], Немыцкий и Степанов [88], Чезари [15], Хейл [50], Абрахам [1], Бирк-гоф [6], Боголюбов и Митропольский [8], Лефшец [67], Минор-ский [74], Сансоне и Контп [95], Стернберг [99].

Общепринятым, хотя и долгое время не упоминавшимся, фактом является то, что методы усреднения были введены впервые Линдстедтом [70]. Вполне возможно, что идеи Линдстедта появились в результате усилий Эйлера [34], предпринятых им для решения проблемы движения Луны.

В линейных периодических системах метод усреднения сразу же приводит к определению характеристических показателей Флоке - Ляпунова, а в нелинейных гамильтоновых системах - к разделению «завязанного» уравнения Гамильтона - Якоби и, следовательно, к определению переменных действие - угол). В общих нелинейных системах (т. е. не обязательно в гамильтоновых) метод усреднения приводит к разделению движения в расширенном фазовом пространстве, которое можно назвать ко-тангенциалъпым пространством исходного пространства системы.

Относительно гамильтоновых систем общеизвестен и общепризнан тот факт, что, вообще говоря, они являются неинтегри-руемыми. Тем не менее, такое утверждение надо рассматривать

) По-видимому, автор имеет в виду применение метода усреднения только к устойчивым системам. Для неустойчивых систем это утверждение ошибочно (прим. перев.).

с осторожностью ц в зависимости от определения самого понятия пнтегируемости. Действительно, если гамильтониан принадлежит но крайней мере классу в некоторой области D фазового пространства, то существует, и притом единственное, решение, соответствующее любой начальной точке из области D. В этоли смысле система является, разумеется, интегрируемой. С другой стороны, слово «интегрируемость» в гамильтоновых системах часто связывается с идеей разделимости движения, т. е. с так называемыми системами Штеккеля (или, в частности, с системами Лиувилля). Связь между двумя этими понятиями можно проследить, если вспомнить, что при существовании и единственности решения для моментов времени из интервала 0<г<:Г движение в фазовом пространстве есть отображение, сохраняющее площадь (или, по-другому, дивергенция потока гамильтоновой системы равна нулю). Верно также то, что такой поток является каноническим, т. е. любая точка решения P{t) (при О < f < Г) получается из начальной точки Р(0) каноническим преобразованием, которое при достаточно малых t принадлежит классу и, кроме того, обратимо. Отсюда следует, что в терминах начальных условий, взятых в качестве частного набора канонических неременных, система с необходимостью будет разделимой с гамильтонианом, сводяпщмся к константе. Разумеется, такого рода разделимости можно достичь тол:ько после того, как решение известным образом явно записано в виде функции времени и начальных условий, так что никакой пользы от такого результата нет. Однако он служит для указания связи между двумя вышеупомянутыми понятиями интегрируемости.

Что касается периодических линейных систем, то нам известно, что при некоторых достаточно обпщх условиях решение всегда существует и, согласно теории Флоке - Ляпунова, имеет вполне определенный вид.

Для общих нелинейных систем интегрируемость можно понимать только как существование и единственность решения. Однако связь с идеей разделимости можно установить «гамилыониза-цией» системы в котангенциальном пространстве, о чем подробно будет рассказано ниже.

Большинство результатов, касающихся неинтегрируемости, основано на исследовании существования интегралов в окрестности особой точки (см. [96]), на приводимости к нормальной форме Биркгофа с помощью степенных рядов или на сходимости итеративных процедур. Не очевидно, что отрицание вышеперечисленных утверждений подразумевает неинтегрируемость. Биркгофом было доказано, что в общем случае нормальная форма для гамильтоновых систем не может быть получена с помощью сходящихся рядов. Хотя методы усреднения, по существу, являются переведенной на некоторый другой язык нормализацией Биркго-