фа, мы, тем не менее, не можем сделать вывода об их расходимости, так как известно, что операции с рядами могут изменить свойство сходимости или расходимости метода. В самом деле, как будет показано на примерах, метод усреднения эквивалентен нормализации, и, следовательно, в общем случае мы вправе ожидать его расходимости. С другой стороны, методы усреднения можно так обобщить, переопределить, дополнить и подчинить возмущения таким условиям, что эти методы будут сходиться по крайней мере для некоторого набора начальных условий.

Как было показано для некоторых специальных примеров, дополнительные интегралы, определяемые формальными рядами (см. [24]), имеют почти тот же смысл, что и истинные интегралы движения, и это было проверено численно для очень больших интервалов времени. Метод поверхностей сечения (см. [91]) оказал неоценимую помощь при поисках возможных интегралов, и было показано, что интегралы (не обязательно общие или допускаемые глобально) могут существовать и для систем, определяемых вначале как неинтегрируемые (см. [9]).

2. Сходимость классического метода итераций

Если соответствующим образом подобрать значения границ временного интервала, то можно показать, что при достаточно общих условиях простейший метод последовательных преближе-аий решения рядами является сходящемся. В действительности известен следующий результат (см. [71]).

Рассмотрим сначала систему п уравнений относительно Xi, ... ..., Хп, зависящую от параметра е:

Р{х,г) = 0 (j = !,...,«), (2.2.1)

где X - набор переменных xi, - Хп. Далее предположим, что

а) F.(0, 0)=0 (i= 1, /г);

б) / = det4il-ll=0 при ж = 0, 6 = 0.

в) -rf- ф О для всех i при х = 0.

Отсюда следует, что функции F. можно разложить в степенные ряды по X ж е вблизи точки ж == 0,6 = 0. Тогда, как легко доказать, при условии аналитичности функций jP, по всем аргументам в некоторой области переменных ж. 8 ряды

Xj = 2 eaj5, (2.2.2)

полученные методом последовательных приближений, равномерно сходятся по е. Величины ujs получаются подстановкой выражений для x, в разложения функций Fi и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях 8. Доказательство этого утверждения можно провести, взяв за основу любую стандартную книгу по математическому анализу (см., например, [45]). Для дальнейшего рассмотрим подробнее некоторые детали. Разложение функций Fi (х, е) имеет вид

Fi (х, 8) =

OS. /о

- \ О

Xj +

+ 4-22

j=0 fe-O

xjx, + ... =0,

Для стандартизации записей введем обозначение xq = s. Тогда приведенное разложение можно записать так:

5=1 \ у / о ft,j-=,0 Z,ft,5=0

(2.2.3)

При подстановке рядов (2.2.2) в ряды (2.2.3) сравнение коэффит цжентов при одинаковых степенях s (или xq) дает

(2.2.4)

г- \ дх /

5=1 \ J I

п п

2 2 iknki-

5=0 й=0

5-1 \ /

(г, 5=1, ... и).

(2.2.,1)

Следовательно, на аждом шаге коэффициенты ар вычисляются но данной системе п уравнений, правые части которых известны, если найдены все предыдупще приближения ац, ..., а,р. Определитель этой системы не равен нулю по предположению б). С формальной точки зрения уравнения (2.2.4) полностью аналогичны набору линейных неоднородных уравнений в частных производных, которые встречаются в методе усреднения Линдстед-

( df.\ i ( дЧ- \

где i,o = Xq = е, ао = О, а нижний индекс нуль означает, что величины Xi заменены на а,. Эти уравнения можно записать в виде

i=0 j,ft=0

(2.2.7)

где функции ф зависят от а п t.

Наша цель заключается в получении величин в виде степенных рядов по е, коэффициенты которых являются функциями

та - Пуанкаре, а также при асимптотическом решении с помощью рядов Ли.

Теперь рассмотрим случай / = О и предположим, что по крайней мере один из первых миноров этого определителя не равен нулю. Далее положим, например, dFi/dxi = 0. Тогда (п-1)-е уравнение (2.2.1) может быть решено относительно хг, ..., х в виде степенных рядов по хо и хи Если результат подставить ч п-е уравнение (2.2.1), то получится уравнение относительно хо и XI. Так как коэффициент при первой степени xi будет равен нулю, то решение для Xi в виде степенных рядов по хо должно содержать дробные степени этого параметра. Это является прямым следствием теоремы Вейерштраоса об умножении степенных рядов. Использование уничтожаюпщхся определителей, согласно работе [13], позволяет найти решение в случае обращения в нуль всех первых миноров порядка п - i. Макмиллан [71] развил этот метод дальше. Появление дробных степеней в этих случаях непосредственно приводит к появлению дробных степеней в рядах асимптотического решения, что, как будет видно ниже, связано с проблемами резонансов.

Далее, рассмотрим систему дифференциальных уравнений

х, = е/,(ж, е, О, (2.2.6)

где г = 1, ..., п, а функции fi аналитичны по ж, е, t при хе D (Z> -заданная открытая область пространства Л"), О < е < 1, tR, ж регулярны при ж, = а,- (г>= 1, . .., п), е = 0 для всех t е [О, Г]. Пусть функции fi можно разложить в степенные ряды по i=x, - ai и е. При [0, Г], \xi - ai\mi (i = 1, ... ..., и) и О < е <: ео < 1 эти ряды являются сходящимися. Представление уравнений (2.2.6) в виде рядов приводит к уравнениям