Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Методы теории возмущений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [17] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

Si =

2 \Ч\.

кз =

2j Ч>} S2 т

- 2 <(tr,

(2.2.9)

где p = 1, 2, 3, ... Функции Fp зависят от решения длявсеч предыдупщх приближений до порядка р - 1, так что на каждом шаге имеется такой набор приближеншТ[:

e(i)

ири 1=1, j=i,...,n; А; = 1, р-1;

/г(;-1).

В результате функции находятся в квадратурах. Посто-

янные интегрирования Р не являются произвольными. Действительно, если остановиться на р-м шаге решения, то решения будут зависеть от исходных постоянных ai, ..., а„ и от пр постоянных р. Можно предпочесть выбор Р в виде нулей или определить их каким-нибудь другим подходяпщм образом. Во втором случае они будут функциями величин а. Если постоянные а,, являются начальными условиями, т. е. Xi{0) = at, то постоянные Р должны быть выбраны так, чтобы все р уничтожались при t = 0. Теперь покажем, что ряды для g,, получаемые описанным выше способом, будут сходящимися при is [О, Т] и достаточно малом 8.

Без потери общности можно предположить, что правые части уравнений (2.2.7) являются сходящимися рядами при < 1,

времени и постоянных а, т. е.

= 2 (2.2.8)

Ei* = d4a,f) (i = l, /г).

Если (2.2.8) подставить в (2.2.7) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях 8 в обеих частях уравнений, то в результате придем к системе дифференциальных уравнений



е < 1, f е [О, Т]. Если это условие не выполняется сначала, то ему всегда можно удовлетворить изменением скалярных множителей при 11 и е. Отсюда следует, что все коэффициенты ф, сто-япре в правых частях уравнений (2.2.7), ограничены и меньше некоторого положительного Л/, т. е.

при j =1, ..., п ж /с = 1, 2, 3, . понятие мажорирующих рядов.

уравнения

Л; = -

Теперь можно использовать Действительно, рассмотрим

(1-8)( 1 \

(i-1, п).

(2.2.10)

Правые частя этих уравнений можно разложить в степенные ряды по е и T]j при е < 1 и 2t1j 1. Учитывая описанные выше предположения, получаем, что каждый коэффициент таких рядов будет положителен и больше соответствующего коэффициента в рядах (2.2.7). Уравнения (2.2.10) можно решить только что описанным методом последовательных приближений. Отсюда следует, что правые части уравнений (2.2.9) будут меньше соответствующих правых частей уравнений (2.2.10). Таким образом, .если решение уравнений (2.2.10) сходится, то и решение уравнений (2.2.9) также сходится. По уравнения (2.2.10) можно проинтегрировать в явном виде. Еслп начальные условия принять равными нулю (т. е. i = О, если а; являются начальными условиями исходной задачи), то в результате получаем

(1-е) {i-пц)

п, следовательно,

1 MnMjl

(2.2.11)

что удовлетворяет начальным условиям i] = О при f = О и е = 0. Разложение (2.2.11) в степенной ряд по е будет сходящимся при

УСЛОЗЕЖИ

2Mmt

1 -S



аналогичным образом можно найти, что коэффициенты удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида

= tP + Ff{,t), (2.2.14)

;"=1

где i= 1, Щ 1=, ...,п; к = i, р -1; Р = 1, 2. ... Весьма замечательным свойством этих уравнений является то, что, как и раньше, функции сру не зависят от номера р, т. е. решения однородных уравнений, соответствующих (2.2.14), одинаковы при всех р. Они являются явными функциями времени и величин x,(j{t), которые зависят от набора п постоянных интегрирования. Что касается постоянных интегрирования д.т1я (2.2.14), то их можно выбрать так, чтобы \р) = О при t = О, или, используя терминологию небесной механики, в этом случае решения и х,о будут оскулирующими. Существуют другие способы выбора постоянных интегрирования, но они потребуют некоторых дополнительных модификаций, обусловленных тем, что в них разложения ведутся не в окрестности точки ; = О (при =0).

Классический метод приближений Пикара позволяет показать, что решение системы уравнений

i = 2 >ijit)lj-bk,{t) (i=.l, .... «) J=l

ДЛЯ всех t из [О, Г], т. е. ири условии

li<o-rrW- (2.2.12)

Так как метод последовательных приближений дает единственный результат, то он должен совпасть с разложением величины (2.2.11). Таким образом, ряды для являются сходящимися при i е [О, Г] и I е I < ео, где М - верхняя оценка всех коэффициентов в (2.2.7). Видно, что при достаточно большом Т ряды будут сходиться, вообще говоря, при е->-0. Описанная выше оценка не является наилучшей, поэтому слова «вообше говоря» допускают ситуацию, когда описанный метод сходится при достаточно малых е (но ненулевых) при Г->-оо.

Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Xi = gi{x,t) + Efi{x,E,t) (i = l, ....к). (2,2.13)

Заменяя величины щ в описанном выше методе па решения Хго{Ц системы (2.2.13) при е = О и определяя



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [17] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104



0.013
Яндекс.Метрика