мажорируется в интервале [О, Т] решением системы

Т]; == М 2 Т] + М (j = 1, П),

где - верхняя оценка функций фч() и h{t) в интервале [О, Г]. Затем так же, как это было сделано выше, можно показать, использовав мажорируюшие функции, определяемые решением уравнений

"" 1-(б-г,1+...-г,„)

что ряды для г являются сходящимися в интерва le [О, Г] при

е < exp(-Mnr), (2.2.15)

где М - верхняя оценка коэффициентов уравнений (2.2.13), если представить в виде рядов по е. Полученная оценка в этом случае является более строгой, поэтому Т может быть больше, чем в предыдущем случае. Эти случаи подробно разобраны в работе Мультона [86]. Однако, как мы увидим ниже, оценка (2.2.15) может и не быть в этом случае наилучшей.

3, Секулярные члены. Способ Линдстедта

В классической ситуащш описанные выше методы приводят к появлению секулярных членов, т. е. в рядах, описываюнщх решение (или в ?рО содержатся члены, линейные (но крайней мере) по t. Если такого явления можно избежать и, более того, если можно сделать функции р {t) ограниченными при всех t (скажем, условно-периодическими или просто периодическими), то скорость сходимости может быть улучшена, и в некоторых специальных случаях (как будет видно в следующей главе) для всех t будет иметь место действительная сходимость при достаточно малых е.

Сейчас мы применим описанный в предыдущем параграфе метод к уравнению простого маятника и убедимся в появлении секулярных членов, а также опишем способ Линдстедта в приложении к этому частному случаю.

Для простоты предположим, что начальные условия соответствуют колебательному случаю в движении маятника, т. е. колебаниям конечной амплитуды около устойчивого положения равновесия. Уравнение движения можно записать следующим образом:

*e = -cuiisin9. (2.3.1)

) Здесь g - ускорение свободного падения, I - длина нити маятника {прим. перев.).

где (Oo = g/Z). Рассмотрим сходящееся разложение sin 6 в ряд по Э и введем новую переменную по формуле Э = Vea;, так что уравнение (2.3.1) принимает вид

• • „ , v> „п 2n+l

о: + cogo: = - СО? 2 (- ТЩ- (2-3-2)

При е = о (бесконечно малые колебания) решение этого уравпения можно записать так:

Xo{t) =Asm{(iiot + a). (2.3.3)

Рассмотрим ряды

это означает, что решение в окрестности опорного решения xo{t) ищется в виде

x=Xo{t)+ г-{t). (2.3.4)

Согласно только что описанному методу надо подставить ряд (2.3.4) вместо х в (2.3.2) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях е. Первые несколько ирпб.пижений определяются уравнениями

V I 2е 12 3

Si + <JJoSi = зГ<ИоЖо,

% + ©ols = (nlxlli - 4 (nlxl,

i + -4г1 (з41з + хМ2 + i) -

Исследуем решение для i, соответствующее начальным условиям

]i = Il = О при t = 0. Без потери общности будем статать юо = 1- Этого всегда можно добиться соответствующим выбором

3. СЕКУЛЯРНЫЕ ЧЛЕНЫ. СПОСОБ ЛННДСТЕДТА 63

единицы времени. Как известно, частное решение уравнения

Z-\- Z = asinpit-\- а)

имеет вид

г-= j--p sinр J-а) при рф\., 2 =--- at COS {tа) при р = 1.

Решение уравнения

имеет вид

Z + Z = а cosp{t + а)

Z =-j--p соь р (i 4" ctj при рф1, Z =--Г-at sin (t а) прп р = 1.

Отсюда легко получить, что

liB sin (i 4- р) - sin а) + 1 sin 3 -L а), (2.3.6)

где 5, [i определяются формулами

i? sin р = - iii За, 5 cos P = - cos За + sin a.

Видно, что в рассматриваемом частном случае секулярные члены пояовились в (2.3.6), т. е. уже в первом приближении (в действительности эти члены чаще называют смешанными се-кулярными членами). Ясно, что появление t вне тригонометрических функций крайне затрудняет получение случая сходимости описанного выше процесса при t-oo. Постоянными интегрирования J? и Р никак нельзя распорядиться для уничтожения секулярных членов.

Способ, предложенный Линдстедтом [70], заключается в том, что в опорном решении, т. е. в xo{t), изменяется частота. Действительно, рассмотрим выражение

xoit) = Asm{(iit + a), (2.3.7)

где мы положим