64 гл. И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗЛУЩЕНИП

или, как и раньше, считая «о = 1. имеем

0)2 = 1 + ем1 + е2сй2 + ..., (2.3.8)

где «1, «2, -постоянные (зависящие от А, а), которые надо выбрать соответствующим образом. Переписывая уравнение (2.3.2) в виде

X + (лх - шх - гсчх - . .. = - (- 1)" 8" ,

И используя решение нулевого порядка

xo{t) = А sm{(jit -т- а).

где частота со определяется форлгулой (2.3.8) и заратгее неизвестна, аналогично предыдущему случаю мы получим такие уравнения:

il ~г = «А + 1Г" Правые части последних уравнений, очевидно, являются нечетными функп,иями (x>t -f- а, т. е. набором синусов величины &>< -Ь а. В уравнениях для р соответствующие неизвестные приближения (Ир надо определить так, чтобы отсутствовали секулярные (или в этом случае смешанные секулярные) члены. Уравнение для членов первого порядка имеет вид

•• I

Si -г (0% =- (оА sin ((lit -f- а) +- -g- sin (tot -у a) -

- ~ /l«bin(3co/ -i- 3a).

так что, если положить

то вынуждающий резонансный член уничтожается, и решение принимает вид

li = В sin (at + Р) -t- Л» sin (.3cui - За).

где В, можно определить следующим образом:

Bsmf, = - ~А sin За, 5 cos р = - -А- А cos За,

3. СЕКУЛЯРНЫЕ ЧЛЕНЫ. СПОСОБ ЛИНДСТЕДТА 65

Т. е. Il = Ь = о при t = 0. Легко видеть, что уравнение, которое надо проинтегрировать для нахождения приближения любого порядка, имеет вид

ip + ojlp = сорЖд -f л? «1, • • •, «P-i) sin (со* + а) +

+ 2 fi+i (А, «1, ..., cop i) sin [(2/ + 1) {Ш + а)], п его решение таково:

СОр = - «1,----Ыр-l),

Отсюда следует, что частота со определяется последовательно шаг за шагом, а все решение выражается в виде периодической функции t, т. е.

в этом частном случае из-за того, что исходное уравнение можно точно проинтегрировать, сходимость вышеописанной процедуры можно доказать непосредственно, если только начальные условия соответствуют колебательному движению. Вышеприведенные ряды расходятся в случае вращательного движения. Насколько нам известно, случай асимптотического движения маятника не может быть вообще рассмотрен с помощью рядов. В случае вращательного движения также можно получить сходимость, если по-другоыу ввести неременную. Действительно, в этом случае угол 9 непрерывно увеличивается со временем, если исключить незначительные флуктуации. Такое увеличение со временем можно учесть, если считать

Э = at + ux,

а = ао -f eai -Ь еаг + ...,

х = хо(1) + гЬ + гЪ + --.,

хо = А sin {at -\- ),

«2 = «о + гщ -\- есог -f ...

5 г Е. о Джакалья

При изучении аналога метода Линдстедта для канонических систем мы укажем способ, которым можно рассмотреть единым образом сразу оба случая (колебания и вращения). Это возможно сделать введением эллиппгческих функций с модулем, принимающим любые значения. Тогда асимптотический случай движения маятника будет фигурировать в качестве предельного случая общего решения. Возможность такого глобального рассмотрения детально изучалась в работе Гарфинкеля и др. [29.5].

4. Метод Пуанкаре (метод Линдстедта)

Метод последовательного подбора частот системы, который был изложен в примере предыдущего параграфа, применим к любой системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть записана в нормальной форме и удовлетворяет некоторым условиям регулярности, по крайней мере локально. Однако желательно, чтобы такая регулярность распространялась на некоторую область. В этом случае мы можем считать, что система имеет вид

Xi = fi{x, t, г) (i = 1, ..., п)

или в векторной форме -

xf{x,t,e). (*2.4.1)

При помоищ перехода в котангенциальное пространство Дирака система (2.4.1) может быть приведена к каноническому виду, если определить вектор канонически сопряженных обобщенных импульсов ff (j/i, i = I, ..., п) и гамильтониан

H = p{x,t,B)y. (2.4.2)

Уравнения движения имеют вид

x = Hl = f{x, е, t), У = - Н1 = -fxix, е, t)y, и предположим, что система уравнений

= /(,f,0), = -h{l,t,0)x]

интегрируема в некоторой области D 2/г-мерного фазового пространства (I, т]) при О < f < Г. Предположим, что функции / (х, t, е) принадлежат по крайней мере классу в D, непре-