угодно малыми ири /ь /2, .. •, }п, принимающих все возможные целочисленные значения. Для таких рядов Пуанкаре пришел к выводу, что они будут расходящимися для всюду плотного множества частот, что, вообще говоря, есть явление случайное. Колмогоров [38.1] показал, что существует множество частот с ненулевой мерой (тем большей, чем меньшее), на котором рассматриваемые ряды сходятся. Главным образом это следует из того, что для всех целых чисел /1, /2, .. ., возможно указать нижнюю границу чисел /iVi +/2V2 + ... +/nV„, как это делается в теории диофантовых приближений. Способ, которым этого можно достичь в рядах, будет описан в главе II чисто формальным образом; последующие главы будут посвящены проблеме сходимости введенных методов. Глава I посвящена объяснению обозначений п терминологии, используемых во всей книге. Последняя глава книги посвящена вопросу о нелинейных резонансах.

ГЛАВА I •

ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. ОБОБЩЕНИЯ

1. Введение

В этой главе мы будем иметь дело с терминологией ж хорошо известными утверждениями, которые необходимы для изложения результатов в остальных главах. В задачу этой главы не входит описание гамильтоновых систем и их общих свойств. Такое описание можно найти в различных книгах и монографиях, среди которых мы хотим упомянуть ставпше классическими работы Биркгофа [5], Зигеля [65], Уинтнера [69], Абрахама [1], Мозера [56]. Мы постараемся избежать каких-либо усложнений и не будем давать определения гамильтоновых систем на многообразиях и какие-то существенные представления о них ие потому, что это не важно, а потому что это не является необходимым для последующего изложения.

Сначала вспомним определения матриц Лагранжа и Пуассона. Они естественным образом возникают в методе вариаций произвольных постоянных. Пусть преобразование у, х-уц, принадлежит классу и является обратимым в некоторой области 2?г-мерного пространства. Векторы?, х, так же как и 1векторы Ч, I, имеют размерность п. Пусть также z = col {у, ж) и g = = col (т), )) - 2?г-мерные векторы. Матрица Лагранжа определяется как матрица

5(S)=/W, (1.1.1)

где М - единичная симплектическая (т. е. каноническая) матрица размерности 2?гХ2?г, имеющая вид

(О I

= (-7 О

а / - матрица Якоби преобразования2->-5, такая, что

/ = (1.12)

) col (у. х) -вектор-столбец (прим. перев.).

Легко проверить, что и, следовательно,

Очевидны следующие свойства матрицы Лагранжа:

\s\ = \]\\

(\А \ =det4 для любой квадратной матрицы А). Матрица Пуассона Р(2) определяется формлой

Р (2) =

и легко проверить, что

«-(1)(11Г-(1Г()

так что

(1.1.5) (1.1.6)

(1.1.7)

Легко установить свойства матрицы Пуассона:

= - Р,

Р = /-12 1 2

2-4?) = /-w-4/)- = /-М(/-) = -P(S).

Выражения (1.1.4) и (1.1.7) называются скобками Лагранжа и скобками Пуассона соответственно.

Если рассмотреть систему п обыкновенных дифферециальных уравнений второго порядка

и ее решение

(1.1.8) (1.1.9)