Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Методы теории возмущений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [20] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

i = = ,- + E/„

Предположим, что при е = О система

= gi {X, t), у. = - 2 7 £ (2.4.5)

интегрируема. Действительно, первая группа уравнений (2.4.5) интегрируема по введенному ранее предположению и имеет решение Xi = x,o{t). Подстановка этих выражений во вторую часть уравнений приводит к системе линейных уравнений

г/г = Sa«i {*)У

которая, очевидно, интегрируема при t из интервала определения решения Xio{t). Запишем решение системы (2.4.5) в виде

Х{ = Xio{a,,t), ую(а, р, t),

) Это утверждение автора нуждается в пояснении. При исследовании конкретных систем небольшого числа дифференциальных уравненпй методами теории возмущений предлагаемую гамильтонизацию по-видимому проводить нерационально. Этот прием обретает смысл или при исследовании систем высокого порядка или при получении большого числа приближений. В этих случаях действительно оказывается проще оперировать с одной функцией (гамильтониан), пусть и зависящей от вдвое большего» числа переменных, чем с п функциями правых частей уравнений. Особенно эффективна гамильтонизация системы нелинейных дифференциальных уравнений при использовании современных ЭВМ, снабженных развитыми Комплексами программ буквенных выкладок (прим. перса.).

рывны ПО t прп <е [О, Т] и аналитичны по е при О е 1. Этими же свойствами, следовательно, обладает функция Н.

Таким образом, ограничение, заключаюш;ееся в предположении о гамильтоновости исходной системы уравнений, весьма не-сухцественно и, следовательно, особую важность приобретают методы теории возмуш;ений для гамильтоновых систем).

С точки зрения предыдущих рассмотрений логичным является вопрос о получении оценки лучшей, чем оценка (2.2.15). Гамильтониан рассматриваемой системы (2.2.13) имеет вид

Я = 2 Vigi (ж, <) + е 2 ViU {00. е, i) = Я„ + еЯ, (2.4.3)

г=1 i=l

И соответствующая каноническая система уравнений записывается так:



где при i = 1, ..., п

Xio{a, р, 0)= а;, ijio{a, р, 0) =

Из теоремы Якоби следует, что решение системы (2.4.4) может быть записано в виде

Xi = Xio(a, р, t), = ут{а, р, t), если а, р - функции времени, удовлетворяющие уравнениям

Р. = -в1, (2.4.6)

где i = 1, ..., п. Но система (2.4.6) является системой изученного ранее типа (уравнение (2.2.6)), и к ней применим метод последовательных приближений, дающий такой критерий сходимости

который при М « М является лучшей оценкой, чем оценка (2.2.15) для спстемы (2.2.13).

Теперь вернемся к главной цели настоящего параграфа и опишем основные идеи и основные этапы осуществления метода Линдстедта, изложенного Пуанкаре на языке канонических систем. Рассмотрим автономную динамическую систему с гамильтонианом

НН{у,х,г), (2.4.7)

где г/, а; - 2п-мернь1е векторы, определенные в фазовом пространстве размерности 2п, г - безразмерный постоянный параметр, а функция Н - вещественная и аналитическая в некоторой об-.ласти D фазового пространства и е из [О, 1]. Мы еще раз подчеркнем тот факт, что любая аналитическая система уравнений

z - f(z, е) может быть сведена к гамильтоновой форме введением котангенциального фазового пространства.

Главная функция Гамильтона W{y,X,E) определяется решением уравнения в частных производных

ч[у,,г = К{Х,г), (2.4.8)

где К {X, е) - гамильтониан системы, занисанной через новые переменные Y, X, которые определяются уравнениями

Ги-щ-Уи{У,Х,Е), х==:хАу,Х,г). (2.4.9)



W {у, X, е) = уХ + sS {у, X, е), (2.4.10)

S {у, X, е) = S, {у, X) + sS, {у,Х)+ ... (2.4.11)

- сходящийся степенной ряд по е.

При выполнеппп вышеперечпслениых условий относительно функции Н функция W, удовлетворяющая уравнению (2.4.8), безусловно существует (в смысле Якоби), так как система дифференциальных уравнений, соответствующая функции Гамильтона (2.4.7), имеет единственное решение в D. Решение очевидно будет аналитической функцией е п п постоянных интегрирования Х\, ..., Хп из D. Мы предположим, что система дифференциальных уравнений, соответствующих функции Н {у,х,0) - {у,х), интегрируема в смысле Лиувилля, т. е. ъ D существует п независимых первых обищх интегралов движения. Если Xi, ...,х„ - такие интегралы, т. е. (г/, ж) = сс вдоль решений системы с гамильтонианом (2.4.7) при 8 = 0 и в области D, то, вообще говоря, угловые переменные Ук, канонически сопряженные переменным действие ж, имеют частоты (по времени), которые являются линейно независимыми на множестве целых чисел, и, следовательно, движение будет условно-периодическим (почти-периодическое движение будет в случае, соответствующем системе с бесконечным набором базисных частот). Через эти переменные, называемые переменными действие - угол, гамильтониан (2.4.7) можно записать в виде 11{у, х, б) с очевидным условием Н{у, х, 0) = Но (х). Следовательно, при предположенпп об интегрируемости (в упомянутом специальном смысле) системы с гамильтошгапом Н„{у,х), не теряя общпостп, можно считать, что гамильтониан зависит только от импульсов х. Также логично ожидать, что почти во всей области D частоты (о = dHJdx являются линейно независимыми на множестве целых чисел. В частности, из этого следует, что в Z? ни одна из частот не равна нулю или, более точно, все импульсы присутствуют в гамильтониане. Теперь задача сводится к такой, при которой функция Н{у,х,0) не зависит от у и, следовательно, главная функция Гамильтона W{y, X, 0) является производящей функцией тождественного преобразована, т. е.

W{y,X, 0) = уХ.

Мы будем предполагать, что функция W является аналитической по е при 8 = О, и, следовательно, при достаточно малых е можно считать



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [20] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104



0.0111
Яндекс.Метрика