П = 2/. + е = г/, + 8П {у.Х, г),

= J, + 8 = J,+8G, {у,Х, 8)

(2.4.12)

при к=Л, ..,, га и достаточно малом 8. Отображения типа (2.4.12) широко изучались главным образом в работах Мозера [75, 77, 78, 83].

При сделанных предположениях можно показать, что существуют формальные ряды (2.4.11), являющиеся решением уравнения (2.4.8) до любого порядка (степени) по 8.

Введем понятие среднего значения (/> условно-периодической функции /(г/1, Уп) переменных у, = щ1 + у1 (со -постоянные величины, линейно независимые на множестве целых чисел) с помощью выражения

</> = limf/di. (2.4.13)

в обобщенном смысле условно-периодическая функция / при (/) =. О будет называться чисто условно-периодической. Очевидно, что если / представить в виде ряда Фурье по п угловым переменных г/1, .. ., Уп, то (/) будет равно постоянному члену в ряде Флфье. С другой стороны, в общем случае, если (/> = О, то

lim f/di<oo, (2.4,14)

что яв.1яется очевидным следствием определения (2.4.13) для условпо-периодической функции /, принадлежащей классу L2 и tR. Функция F{t), удовлетворяющая условию

limF()<oo, (2.4.15)

<->оо

называется функцией, свободной от секулярных членов. Любая условно-периодическая функция из класса L2 удовлетворяет этому условию. Из предположения об интегрируемости системы с функцией Гамильтона Яо следует, что записанный через переменные действие - угол у, ж, гамильтониан Я (г/, ж, е) является условно-периодической функцией, если, например, он имеет сходящиеся многомерные ряды Фурье относительно г/i, ..., г/„ при 8е{0, 1] и x,yD.

Отсюда следует, что (2.4,9) можно записать в виде

Формальные ряды для S ж К теперь получаются прямой подстановкой ;(2.4.10); и 12.4.11); в (2.4.8), т. е.

К {X, 8) = к, (X) + гКг {X) + гК, {X) + ...

Разложение первого из этих выражений в ряд Тейлора (который по предположению сходится) дает в символической записи

„1 dW \ VI

( dSi " ду

. dSi

1 dSi

• •• + ОХ

ft=0 р=0

- "оУ) + дх [ду ) 2\[ду ] дх-[ду) "т- • • •

(Щ--ггНАу,Х) + .[У+...

... +гт,{у,Х)+ (2.4.16)

где запись dHJdX, означает дН/dxi 1х=х-

Выражения до любого порядка приближений впервые были получены в работе Джакальи [36]. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, в любом порядке приближения получаем уравнения типа

2 S + ФИ ) + (У ) =Кр{Х). (2.4.17)

В этих уравнениях, например,

ФАу,Х)0,

дт„ д8г dSi

dHi dSi

Вообще, Фр {у, X) является фунхщией от i, ..., 5,-1, Ki, ... ..., Kp-i, так что решения уравнений (2.4.17) можно получать только последовательно.

Один из способов получения Кр {X) заключается в использовании процедуры усреднения

Кр (X) = <Фр {у, X) + Hp {у, Х)>,

(2.4.18)

где предполагается, что все представляются линейными функциями времени г/ = ait -}- yl, а все со линейно независимы на множестве целых чисел (т. е. рационально независимы). Получающаяся функция Кр(Х), разумеется, от времени t не зависит. Отсюда следует, что функция

ЕрФр + Нр~Кр = Fp{y,X) (2.4.19)

является чисто условно-периодической при учете предположений относительно функции Н{у,х,е). Приближение р-то порядка для производящей функции Sp получается из линейного уравнения

где cofe = дНд/dXi. Теперь становится очевидным, что если все tt>ft =7 О, то функция Sp будет условно-периодической функцией переменных г/1, ..., Уп {Ук= kt+Uk), причем свободной от секулярных членов, т. е. для линейно независимых на множестве целых чисел со имеем

5р (г/, X) - -2 -V f (У ) "У + (2.4.20)

где функция Gp (Х) произвольна. Разумеется, если одна из частот cofe равна нулю, то эту процедуру использовать нельзя, по крайней мере до тех пор, пока для функции Fp (у, X) не будет выполнено условие

= О (2.4.21)

для этого у. Легко показать, что

lim Sp (г/, Х)< оо (2.4.22)

t-oo

для г/ = alt -{- у1. Все эти соотношения справедливы для любого порядка р и, следовательно, можно определить формальные ряды

уХ +zSi + sS2 + ..., Ко + еКг + е22 + ...,

такие, что функция ei -}- ег -}-... будет условно-периодической и свободной от секулярных членов. Случаи, когда некоторая частота coft равна нулю или мала в некотором смысле, будут изуче-