ны в главе V в связи с общей проблемой резонанса. Формально система регпается в любом желаемом приближении, и «решение» в новых переменных (F, X) имеет вид

У, = at + Yl = Xl (2.4ДЗ)

yI = const, Xl = const + 0 (eP+i), (2.4.24)

= S: + S; + • • + = --t + 0 (BP+i).

h h я

Здесь О (e"*) - члены такого наинизшего порядка, которыми пренебрегают после получения последних приближений Sp и Кр. Их также можно интерпретировать как ошибку или как оценку ошибки в решении. Разумеется это 110жно сделать только в случае сходимости метода. С этой проблемой мы будем иметь дело в следующих двух главах настоящей книги. Грубая оценка, проведенная в работе Кинера [64], показывает, что верхняя ошибка эквивалентна ошибке, полученной Боголюбовым и Митропольским [8] для канонического метода усреднения Крылова - Боголюбова - Митропольского и в действительности, как было показано в работе Бурштейна и Соловьева [9.1], эквивалентна ошибке метода Пуанкаре. Эта ошибка пропорциональна е при t ~ l/e" (по крайней мере). Сходимость рассматриваемого здесь метода в некоторых частных случаях будет изучена в главе П1.

С чисто формальной точки зрения из (2.4.21) получаем

у„ = a„t + Yl+ eN (У, ..., У„, j?, ..., б), x = XI + sW{Y„...,Y,X1,...,xIb),

где Nk, Wk - условно-периодические и свободные от сек-лярных членов функции переменных Fi, ..., F„. Ясно, что в большинстве случаев основная ошибка будет заключаться в частоте ю, так как любая такая ошибка линейно умножается на время. Прп практическом применении лучшим способом избежать потери точности является численное получение значений со при усреднении (г/> по времени t. Такое усреднение, если выполнены соотношения (2.4.25), очевидно, даст значения (о. Подобное использование «наблюдаемости» уничтожит методические ошибки, вызванные неточностью вычисления частот ю.

5. Быстрые и медленные переменные

Случай собственного вырождения [4] является весьма общим в теории возмущений. Строго говоря, в этом случае движение определяется не независимыми частотами невозмущенной системы.

9(0.

и,к--=1.....п) (2.5.1)

является особенной. Это определение включает в себя и случай рациональной зависимости частот, и случай, когда некоторые из переменных действие не входят в гамильтониан Hq{x), т. е. по крайне11 мере одна из частот со, тождественно равна нулю. Оно также включает в себя и линейные спстемы, т. е. случаи, когда

Яо = СО1Ж1 + ... + СОЛ. (2.5.2)

Теперь рассмотрим случай, когда матрица (2.5.1) имеет по крайней мере один минор порядка т (О < ??г < ?г), отличный от нуля. Невозмущенная система является нелинейной, интегрируемой и определяется т независимыми частотами, соответствующими независимым угловым переменным = со (ж) t -\- Уи, где к = =. 1, .... т. В этом случае существует каноническое преобразование {х,у){х,у), такое, что, по крайней мере локально, гамильтониан Яо зависит только от т импульсов л?, а соответствующая ему матрица (2.5.1) - неособенная.

Однако, может быть, стоит заметить, что если все импульсы х входят в Яо, то иногда можно найти преобразование, после применения которого гессиан (2.5.1) нового гамильтониана будет неособенной матрицей. Действительно, рассмотрим гамильтониан в само51 общем виде

Н = Н{у.х,е) = H,{x) + eHi(y,x)- ...

и предположим, что cOj = дНо/dXj ф О, где / =.1, . . ., п. Если может быть найдена такая функция F =, Ф (Я), что

F = Fo{x)zF,{y, ж) + ...,

и такая, что для Qj == dFaJdXj матрица

(ОЙ,

является неособенной, то кажущееся вырождение исчезает.

Это означает, что для данного гамильтониана Яц = () и частот имеет место собственное вырождение, если матрица

встречающемся во многих задачах небесной механики (задача двух тел во вращающейся системе координат, ограниченная задача трех тел во вращающейся системе координат и т. д.). Хотя гессиан функции Яо равен нулю (Яо линейно зависит от жг), видно, что существует несколько функций, зависящих от Яо, которые приводят к функции f о с не равным нулю гессианом (см., например, [91])).

Исключив пока из рассмотрения линейный случай, мы теперь исследуем случай, прп котором в Яо отсутствуют некоторые им-nj-льсы. Пусть .. ., Хп - импульсы, не входящие в Яо, и рассмотрим теперь уравнения, соответствующие гамильтониану

Я ==,Яо(ж,, . . ., Хр) + рН(хи .. ., Хп, Уи Уп) +

т. е.

• дН дН дНу ,

) Более подробное изложение этого приема уничтожения кажущегося вырождения см. в книге [4*] {прим. перев.).

Уравнения двпженпя теперь принимают вид

±д£ • i дР

У ~~ а. дх. а ду-

где а - постоянная, определяемая через начальные условия формулой

Ф (Я) = Ф (Я {у,, X,, г)) = Ф (/) = а.

& h - значение интеграла энергии, соответствующее начальным условиям Уо, oCq. Очевидно, а можно представить в виде степенного ряда по е (предполагается, что Я - вещественная аналитическая функция по всем переменным), и если Ф - аналитическая функция, то степенной ряд

Ф (Я) = f\(х) + гР, {у, X) + eF, {у,х) ...

сходится. Эту процедуру нельзя применить к линейному случаю (2.5.2), так как незавпсимо от вида Ф(Я) гессиан функции Р){х) равен нулю. Однако эту процедуру можно применить в остальных случаях. Например, это можно сделать в важном случае

Я„ =