Уп = Щ Н i + Ук, Ч = h-

«fe=«ft + ecOft {k = i.....р).

coj = ecOfe (к = р i.....п).

Эго простое описание служит основанием к тому, чтобы назвать угловые переменные yi, ..., Ур (которые являются сопряженными к импульсам xi, . .., Хр, входящим в Яо) быстрыми, а угловые переменные ур+i, ..., Уп (которые являются сопряженными к импульсам, отсутствующим в гамильтониане Яо) - медленными переменными. Вследствие этого также говорят, что любая фз нкция, содержащая хотя бы одну быструю переменную, является короткопериодической, а любая функция, не содержащая ни одной быстрой переменной - долгопериодической функцией. Разумеется, мы не хотим здесь дать точных определений, а только приводим традиционное объяснепне терминологии.

Для этого случая теперь рассмотрим проблему существования формальных рядов, представляющих производящую функцию метода Пуанкаре. Вообще говоря, ответ на вопрос о существовании является отрицательным, за исключением только некоторых исключительных ситуаций, которые мы и обсудим в настоящем параграфе.

РТсключение быстрых переменных достигается таким обобщением проблемы Гамильтона, при котором мы требуем, чтобы новый гамильтониан содержал только медленные переменные. Более точно, мы Строим производящую функцию в виде формального ряда

1У{у.Х.в)-у-Х+г8,{у,Х)-

аналогичного (2.4.10), (2.4.11) и (2.4.12), и требуем выполнения закона сохранения энергии в виде

Я(у,ж,е) = (Ур+1, ...,У„.Х.е), (2.5.3)

так что исходная система сводится к системе с числом степеней свободы, равным п - р. Это всегда возможно, так как при определении ттг-го приближения уравнение, которое надо

Отсюда следует, что в нулевом приближенпп переменные - константы, а г/ь - линейные функции времени [к =Л, ..., р) или также константы (к = р -\- i, . . п). Еслп этот результат подставить в уравнения движения и усреднить их по yi, . . ., ур, то в первом приближении получим

а jfiTm определяется усреднением функции + Я„, по быстрым переменным. Новый гамильтониан получается в виде формального ряда. Если допустить, что такие ряды являются сходящимися (по крайней мере на конечном интервале времени), то теперь задача сводится к исследованию уравнений движения, соответствующих гамильтониану

К = А-„ (Х) - гК, (Ур+1. ..., У, X) -f ... = К{Гри. ..,Y, X, е),

(2.5.4)

в то время как постоянные импульсы Xi, . . ., Хр играют роль параметров. В случае сходящихся рядов выражения

Ч-Х..-Щ (2.5.5)

при к = i, . .., р представляют собой первые интегралы исходной системы, зависящие от р параметров Xi, .. ., Хр, для которых могут быть взяты произвольные значения.

Теперь при выполнении простых условий можно исключить медленные переменные. Действительно, в (2.5.4) функция Kq (X) зависит только от Xi, . . ., Хр и, следовательно, является константой движения. Гамильтониан теперь может быть записан в виде

гР = sF, [q. р)+ eF, {q, р)... -sF {q, p. е), (2.5.6)

где q = (Уо+ь ..., Уп), Р {Xp+i, .... Х), а параметры Xi, ... ..., Хр можно дальше не рассматривать. Уравненпя движения имеют простой вид (/с = 1, . . ., п-р)

?. = е,р, = -8. (2.5.7)

Если п - 7? =, 1, то система имеет одну степень свободы и задача теоретически разрешима. Если п - р > 2, то, очевидно, интегрирование можно осуществить методом последовательных приближений, который уже был изложен, при условии, что главная часть функции eF, т. е. функция e,F-y{q,p), соответствует интегрируемой системе. Начиная с этого места, можно повторить всю процедуру Пуанкаре, описанную в предыдущем параграфе. По-видимому, будет полезно сказать, что формально задачу можно решить до конца, если функция f ] {q, р) не зависит ни от одной пере-

проинтегрировать, имеет вид 2 со, (.Y) ££п? + F„ (г/, X) + Я„ {у, X) == ..., 1/„ X, 8),

меннойи содержит все переменные р, т. е. неременные Xp+i, ... . .., Х„. Существенным достижением Цейпеля [105] в решении рассматриваемой задачи явилось понимание того факта, что хотя полная редукция системы может быть невозможна, тем не менее частичная редукция является существенным шагом вперед в решении задачи.

Оценки ошибок метода были получены в работе Кинера [63], а в случае сходимости в работе Мозера [81] была использована процедура ускорения сходимости, основанная на применении итераций ньютоновского типа. Впервые аналогичная процедура была предложена Колмогоровым [59], а затем она широко использовалась в различных работах Арнольда [3, 4]. В следующей главе об этом будет сказано более подробно. Очевидно, что в некоторых случаях оценка ошибки (е), полученная Кинером, может быть значительно улучшена. Например, при доказательстве Мозером [78] сходимости закручивающих отображений может быть получена сходимость лучше, чем квадратичная, так что ошибка уменьшается но мере увеличения степени е в процессе вычисления итераций. Для того, чтобы это утверждение было верным, не требуется даже аналитичности рассматриваемого отображения, а лишь существование конечного числа производных.

6. Обобщение процедуры усреднения, нормализация Биркгофа и дополнительные интегралы

В большинстве случаев, когда применяется метод усреднения, основное предположение заключается в том, что гамильтониан является периодической функцией по каждой из угловых переменных г/1, . .., Уп. Как было видно из § 4 настоящей главы, понятие условно-периодическиХ функций было некоторым небольшим обобщением понятия периодичности по каждой из переменных, применявшихся в соответствующих определениях понятия усреднения. Такие предположения напоминают о тех специальных областях, для которых были развиты эти методы: небесная механика и теория колебаний в механических и электрических системах.

Для того чтобы найти более общий подход к решению нужных задач, подход, при котором не надо проверять перечисленные выше гипотезы (предположения), рассмотрим сначала простой пример. Пусть функция Гамильтона имеет вид

Н{Уи У2, Хи Х2) =.Ho + ffi+ff2 + ...,

Ho = Y + 2/?) + Т 22 (4 + у1) + 12 {xix + У1Уг),

Яр = Яр (г/1, г/2, Xl, Х2) (р =. 1, 2, 3, ...).