|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [24] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 Здесь Hp - однородные полиномы степени р -{-2. Решение «главной» части задачи полчается сразу же, если можно уничтожить члены Х\Х2 -f- У1У2- Вообще говоря, это весьма легко можно сделать с помощью линейного канонического преобразования {у, х)- (tj , ): Xj = 2 ajhlh Лу = 2 Ч}Ук где, например, можно положить «12 = 12, а21 = А22 - Ml, ап = {\+ai2a2i)la22, = (хайог - 22ai2)/(22ai2 + 1122 - А-а-й), если исключить случай Ац - А22, когда выписанное преобразование становится особенным. Разумеется, этот один особый случай много легче исследовать отдельно. В общем случае гамильтониан принимает вид H = Ho + Hi + H2 + ..., где Нд = Ajdl + ViD-r А2{11 + ц1), а Hi, Н2, ... опять являются однородными полиномами степени 3, 4, ... относительно 1ь I2, Ль Л2. Также можно написать 1 = 4- (1111 + 221 + 2aiia2iyli2), 2 = у Uiiis + 22 <42 + 2ai2a224i2). Решение уравнения Гамильтона - Якоби (dSY . 21 , л [fdsy , 2 = Fq (ai, аз) получается сразу же. Естественным образом выбирая F, = Aai + Aal находим 5 = -f S2, где + 4 = al (/с = 1, 2), и, следовательно, = Ш + у]1 = + щУ arcsin (лй/а). ) Отметим, что указанное автором появление секулярных членов обусловлено не существом задачи, а неудачной заменой переменных tj, (,->-ай. рй. Если ввосгп каноническую унпвалентную замену по формулам .1, =1/2 sin р,, 5, = T/2c.,cosP,, то секулярные члены не появятся, и решение может быть записано в виде формальных рядов при некоторых дополнтельных ограничениях ил линейные члены {прим. перев.). Обратное преобразование имеет вид il = afeSin, s = aftCOs (/с = 1,2). k ft Главная часть функции Гамильтона запишется так: а вся функция Гамильтона может быть в общем виде нредсгавле-на как сумма членов а!Чт + пЦ. (2.6.1) Решение нулевого порядка = const, = 2Aat f (/c = 1, 2) показывает, что применение метода Пуанкаре обязательно приведет к появлению смешанных секулярных членов, обусловленных дифференцированием по ai или а2 в производящей функции метода (фу&кция обязательно содержит члены вида (2.6.1))). В действительности вопрос решается проще, по крайней мерь в формальном смысле. В самом деле, пусть функция Гамильтона содержит неременные х, у только в виде комбинаций х--у и .г--+ у1 т.е. Н ==Н{х\ + у1 xl-irvl). В этом случае в силу уравнений движения получаем, что х + yf - cj = const, Wi=XiX2 + yiy2, и)2 = Х1У2~Х2Уи Ui = xl + yl, u = xl + yl. Такой случай, например, встречается в небесной механике при псследованпп в неременных Пуанкаре (см., например, [12]). В общем случае можно считать, что члены высших порядков в Я являются однородными полиномами увеличивающихся степеней относптельно xi, ух, Х2, у2. Исключение всех членов (кроме комбинаций пз uu U2) в Hi можно осуществить с помощью производящей функции S = ххУг + Х2У2 + Si + .. ., 6 г. Б. О, Джакалья И, следовательно, X, = Cj cos (СО; + Oj) , Vj =. С; sin (СО; + Oj) , (О, = - 2 -- = const, а Cj, Oj - произвольные постоянные. Ситуация здесь аналогична случаю, рассмотренному в книге Уиттекера [ЮЗ], когда гамильтониан является только функцией переменных coj =. XjTJj, а б1,-тогда - постоянные. Разумеется, такая ситуация будет иметь место п для случая любых других комбинаций координат и импульсов. Такие рассмотрения приводят нас к естественному вопросу: возможно ли привести весь гамильтониан к такому виду, когда он завпспт только от комбинаций х1 + г/f ш х1+ у1, если Но имеет вид н, = а,{х\ + у1) + аМ + у1)- Ответ на этот вопрос будет утвердительным в том смысле, что по крайней siepe формально такую редукцию в общем случае можно произвести рядами, состоящими из зависящих от всех переменных полиномов, хотя вопрос о сходимости этих рядов как таковых никогда пе исследовался. Тем не менее, эквивалентность упомянутого здесь преобразования проблеме нормализации Биркгофа очевидна. Пусть теперь главная часть Но функции Гамильтона будет функцией только выражений д;? + i/f и + yl, а члены высших порядков в функции Гамильтона являются функциями неременных которые входят, скажем, только в комбинациях 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [24] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0121 |
|