Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Методы теории возмущений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [24] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

Здесь Hp - однородные полиномы степени р -{-2. Решение «главной» части задачи полчается сразу же, если можно уничтожить члены Х\Х2 -f- У1У2- Вообще говоря, это весьма легко можно сделать с помощью линейного канонического преобразования {у, х)- (tj , ):

Xj = 2 ajhlh Лу = 2 Ч}Ук

где, например, можно положить

«12 = 12, а21 = А22 - Ml, ап = {\+ai2a2i)la22, = (хайог - 22ai2)/(22ai2 + 1122 - А-а-й),

если исключить случай Ац - А22, когда выписанное преобразование становится особенным. Разумеется, этот один особый случай много легче исследовать отдельно. В общем случае гамильтониан принимает вид

H = Ho + Hi + H2 + ...,

где Нд = Ajdl + ViD-r А2{11 + ц1), а Hi, Н2, ... опять являются однородными полиномами степени 3, 4, ... относительно 1ь I2, Ль Л2. Также можно написать

1 = 4- (1111 + 221 + 2aiia2iyli2), 2 = у Uiiis + 22 <42 + 2ai2a224i2). Решение уравнения Гамильтона - Якоби

(dSY . 21 , л [fdsy , 2

= Fq (ai, аз)

получается сразу же. Естественным образом выбирая

F, = Aai + Aal

находим 5 = -f S2, где

+ 4 = al (/с = 1, 2),

и, следовательно,

= Ш + у]1 = + щУ arcsin (лй/а).



) Отметим, что указанное автором появление секулярных членов обусловлено не существом задачи, а неудачной заменой переменных tj, (,->-ай. рй. Если ввосгп каноническую унпвалентную замену по формулам

.1, =1/2 sin р,, 5, = T/2c.,cosP,,

то секулярные члены не появятся, и решение может быть записано в виде формальных рядов при некоторых дополнтельных ограничениях ил линейные члены {прим. перев.).

Обратное преобразование имеет вид

il = afeSin, s = aftCOs (/с = 1,2). k ft

Главная часть функции Гамильтона запишется так:

а вся функция Гамильтона может быть в общем виде нредсгавле-на как сумма членов

а!Чт + пЦ. (2.6.1)

Решение нулевого порядка

= const, = 2Aat f (/c = 1, 2)

показывает, что применение метода Пуанкаре обязательно приведет к появлению смешанных секулярных членов, обусловленных дифференцированием по ai или а2 в производящей функции метода (фу&кция обязательно содержит члены вида (2.6.1))).

В действительности вопрос решается проще, по крайней мерь в формальном смысле. В самом деле, пусть функция Гамильтона содержит неременные х, у только в виде комбинаций х--у и .г--+ у1 т.е.

Н ==Н{х\ + у1 xl-irvl). В этом случае в силу уравнений движения

получаем, что

х + yf - cj = const,



Wi=XiX2 + yiy2, и)2 = Х1У2~Х2Уи

Ui = xl + yl, u = xl + yl.

Такой случай, например, встречается в небесной механике при псследованпп в неременных Пуанкаре (см., например, [12]). В общем случае можно считать, что члены высших порядков в Я являются однородными полиномами увеличивающихся степеней относптельно xi, ух, Х2, у2. Исключение всех членов (кроме комбинаций пз uu U2) в Hi можно осуществить с помощью производящей функции

S = ххУг + Х2У2 + Si + .. .,

6 г. Б. О, Джакалья

И, следовательно,

X, = Cj cos (СО; + Oj) , Vj =. С; sin (СО; + Oj) ,

(О, = - 2 -- = const,

а Cj, Oj - произвольные постоянные. Ситуация здесь аналогична случаю, рассмотренному в книге Уиттекера [ЮЗ], когда гамильтониан является только функцией переменных coj =. XjTJj, а б1,-тогда - постоянные. Разумеется, такая ситуация будет иметь место п для случая любых других комбинаций координат и импульсов. Такие рассмотрения приводят нас к естественному вопросу: возможно ли привести весь гамильтониан к такому виду, когда он завпспт только от комбинаций х1 + г/f ш х1+ у1, если Но имеет вид

н, = а,{х\ + у1) + аМ + у1)-

Ответ на этот вопрос будет утвердительным в том смысле, что по крайней siepe формально такую редукцию в общем случае можно произвести рядами, состоящими из зависящих от всех переменных полиномов, хотя вопрос о сходимости этих рядов как таковых никогда пе исследовался. Тем не менее, эквивалентность упомянутого здесь преобразования проблеме нормализации Биркгофа очевидна.

Пусть теперь главная часть Но функции Гамильтона будет функцией только выражений д;? + i/f и + yl, а члены высших порядков в функции Гамильтона являются функциями неременных которые входят, скажем, только в комбинациях



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [24] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104



0.0121
Яндекс.Метрика