а,- =

5«г ix=x"

Следовательно, уравнение для принимает вид

С другой стороны, из рассмотрения выражений для и Uk (к = 1, 2) следует, что

Уравнение для становится таким:

2 (ai - a,) ( - ivi - I = - Hp {wl, wy.ui.u2) = Ф]; (иьг).

так что приходим к уравнению

2 2 /

ft=l ftl <:2/ft

где штрихом отмечены новые неременные и новый гамильтониан. Далее, так как Яо =.A\Ux -\- Ащ, то функция определяется той частью функции Я], которая содержит только комбинации из u\ и Иг; обозначим эту часть через Я],. Оставшаяся часть, обозначаемая как Я1р, будет служить для определения S\. Так как Яо (ж, у) = Яд (ж, i/), то отсюда следует, что

где в Hip любой член, в который входит ui и (или) мг, в качестве множителя содержит члены, зависящие от Wi пли гг- Далее, учитывая вид Яо, имеем

==20.,.;, 1 = 2»,,,, 1Ш.

где зависимость от Ui, U2 исчезает и не будет больше встречаться в дальнейших выкладках (до тех пор, пока не возникнет вопрос о зависимости только от величин Ui, «2)- Решение этого последнего уравнения можно получить введением вспомогательных переменных интегрирования

Произведя эти замены, мы находим

где Oi - произвольная функция Zj, ui, U2. Этот метод нельзя применить, если ai = «2, т. е.

Очевидно, это есть случай внутреннего резонанса в линейном приближении, который ягвляется исключительным. Аналогичные выкладки и обтцие рассуждения справедливы для приближения любого порядка. Гамильтонпан, по крайней мере формально, приводится к виду

так что

и\ = {xlf -f (yi) = const, U2 = [Х2У + {У2У = const.

Связь между переменными со штрихами и переменными без штрихов получается из соотношений

dx dx

, dSi . dS, , ---d + I+---

Проведенные выше рассмотрения устанавливают тесную связь между проблемой Пуанкаре и нормализацией Биркгофа [6, 98]. В действительности эти задачи эквивалентны по их целям, и такая эквивалентность в некоторых специальных прикладных вопросах была недавно показана в работах Депри [28-31].

Хорошо известно, что в обтцем случае ряды, вводимые при нормализации Биркгофа, расходятся, хотя и существуют некото-6*

(F, Я) = 2

1 lft Ч ft

) Существенные новые результаты о сходимости рядов нормализующих преобразований получепы в работах А. Д. Брюно [5* -12*] {прим. ред.).

рые исключения. Новые результаты, касающиеся таких проблем, крайне редки), и теоремы Колмогорова и Мозера можно применить только из-за пелинейиости уравнений, соответствующих функции Яо.

Следующим важным понятием, введенным Уиттекером [103]. является понятие дополнительных интегралов. Определение этих величин и их представление в виде рядов, которое получил Уит-текер, недавно было использовано в работе Контоиулоса [20], где, между прочим, показано, что такие интегралы, до сих пор считавшиеся формальным результатом, па практике остаются постоянными в течение очень большого интервала времени, а именно, настолько долго, насколько ЭВМ ;,ает возможность проводит!, интегрирование с разумной достоверностью в точности результата. Отсюда следует вопрос: можно ли для копсорвативной системы найти другой интеграл, кроме интеграла энергии? Очевидно, существуют системы, для которых это справедливо. Действительно, но определению интегрируемая система с п стеиепями свободы имеет п таких интегралов. Хотя хорошо известный результат Пуанкаре указывает, что динамическая система иеинтегрируема, это касается только существования однозначного (относительно некоторого параметра) интеграла. Зигель [96] также показал, что в окрестности особой точки не существует дифференцируемых интегралов. Тем не менее, могут существовать интегралы для отдельных значений параметров, появляющихся в уравнениях, для отдельных значений начальных условий или, в исключительных случаях, например, даже непрерывные интегралы. В конце этого параграфа мы приведем пример такого исключительного случая.

Пусть функция F (у, ж, t) будет дифференцируемым в области D интегралом консервативной системы, определяемой гамильтонианом Н{у, х); пусть он, кроме того, принадлежит классу в некоторой области D 2и-мерного фазового пространства у = ((/i, .. ., Уп), X =-{хи .. ., Хп). Хорошо известно, что для того, чтобы независимая от Я функция F была первым интегралом, необходимо и достаточно выполнения соотношения

(7, Я) + = 0. (2.6.2)

В явном виде скобки Пуассона здесь записываются так:

IdF дН дР дН