V • о

> к ((О»)

Z\]k\

ft=l

-n-l

(2.6.6)

для всех одновременно не обращающихся в нуль целых чисел }н и некоторой постоянной К. Резонансные случаи или случаи, близкие к резонансным, в применении к задаче о дополнительных интегралах детально изучены в работах Контопулоса [25, 26]. Для систем с числом степеней свободы и > 2 в литературе не встречается даже приближенного решения рассматриваемой задачи, хотя его можно получить без особого труда. Выписанные выше условия исключают частные решения (или «почти» решения) типа

Если интеграл F не зависит явно от времени, то упомянутое условие принимает простой вид: {F, Н) = 0.

Теперь рассмотрим случай, при котором Н зависит от безразмерного параметра е, е е [О, 1], и Н раскладывается в ряд Тейлора в окрестности точки е = О при е < ео:

Н(у,х,г) = Но (ж) + еЯ {у, х) + еЯ,. (у, ж) + ... (2.6.3)

Наконец, предположим, что F пе зависит от времени явно и является аналитической функцией (в ветцественном смысле) параметра е при I е I < ео. Тогда

F (у, ж, е) = Fg (у, X) + eFj (у, ж) + eF [у,х)+ .... (2.6.4)

и потребуем, чтобы функции F{y х) при А; =,О, 1, 2, . . . были дифференцируемыми в области D. Если F является интегралом для всех е при е < ео, то должно быть выполнено равенство (Fo, Яо) ==,0 или в явном виде

У=0. (2.6.5)

Ясно, что любая функция вида Fg (ж) удовлетворяет уравнению (2.6.5). Если функция Fq (ж, у) является решением уравнения (2.6.5), то функция Fo(ж, у) + Fg* (ж) такнле будет его решением незваисимо от вида функции Fq (ж). Мы будем исключать из рассмотрения случаи резонансов, т. е. случаи, когда функции cOfe = 5Я()/5ж являются зависимыми или, в частности, линейно зависимыми на множестве целых чпсел для ж g Z).B действительности мы будем предполагать выполненными бесконечное множество условий

(2.6.8)

Правая часть уравнения (2.6.8) - 2я-периодическая по каждому у и имеет нулевое среднее. Аналогичное утверждение справедли-

где р,1 - такие целые числа, что

2 hPk = 0.

Тогда мы имеем следующее утверждение.

Лемма 1. Функция Fq является произвольной функцией переменных Хи ..., Хп и произвольной функцией линейной формы aij/i + • • • + а„г/п, где вещественные, не являющиеся все одновременно рациональными числа таковы, что

асо? + ... + «„(0° = 0.

Отметим, что так как решение системы уравнений, соответствующих функции Гам1ИЛьтона Но, им)еет вид

= const, y = (ul{x)t-ryl,

ТО любая функция от ayi -}-••• + о,пУп сводится к независимой постоянной. По этой причине мы будем рассматривать только Ff = {х) в качестве решения уравнения (2.6.5). В действительности это очевидно, так как функция Fq должна быть интегралом системы уравнений, соответствуюнщх гамильтониану Яо, и, следовательно, функцией п интегралов этой системы xi, ..., Хп.

Лемма 2. Если F=F{x) и функция Fi{y, х) является 1п-периодической относительно Ух, ..., у„ с нулевым средним, то функция (Ни Fi) также будет 2п-периодической относительно Уи ..., Уп с нулевым средним при условии, что Hiy, х) - 2п-пе-риодическая функция относительно уи Уп.

Действительно, условие (F, Я) =,0 приводит к такому набору условий при = 1, 2, 3, ...:

(Fp, Но) + (Fp-u Нх) + (Fp-2, Яг) +...+ (Fo, Hp) = 0. (2.6.7)

При р = I мы имеем

(Fu Но) ,+ (Fo, Нх) =.0,

(F2, Яо) + {Fu Hi) + {Fo, Н2) =.0

откуда следует, что если пренебречь произвольной функцией переменных ж, то F2 также будет 2я-периодической функцией относительно г/1,-. . ., Уп.

Однако в обтцем случае утверждение о 2я-периодичносги по угловым переменным j/i, ..., у„ функции Fp является неверным. Оно остается справедливым только при выполнении очень специальных условий. Наиболее важный пример такого рода - это когда Я представляется рядами из косинусов углов yi, . . ., ;/„. В этом случае легко видеть, что F также представляется рядами из коси-

ВО и относительно функции F{y, х), в которой можно пренебречь любой произвольной функцией ж; величины coj; удовлетворяют условию (2.6.6). Пусть теперь 9 = Р1У\ + ... + РпУп - произвольный аргумент в ряде Фурье функции Hiiy, х), где целые числа Ри ...., Рп одновременно в нуль не обрагдаются. В силу линейности уравнения (2.6.8) можно обойтись этим единственным аргументом. Таким образом, отбросив произвольную функцию х, для этого аргумента получаем

-(-sin9 + Scos9), (2.6.9)

где, согласно определению, Я, = Л cos 9 -j- Я sin 9 -f- ... Сомножитель, стояЕДий перед скобкой в правой части (2.6.9), является функцией X, которую обозначим через С (ж), и, учитывая (2.6.6), находим, что он не слишком велик (очевидно, надо, чтобы постоянная Kiw") в (2.6.6) была 0(1) по сравнению с е). Отсюда следует равенство

(Fi, Я1)е = • 2 Z/ Щ + 029

которое н доказывает лемму, так как члены, не зависятцие от 9, можно считать периодическими функциями этого аргумента.

Рассмотрим уравнение (2.6.7) для р =.2. Функция F2 определяется формулой