дР дН дР дН

- 8у ох ох ду

п обнаружить, что в каждом слагаемом один сомножитель есть ряд из синусов, а другой - ряд из косинусов.

Аналогичное утверждение верно, когда Н представляется рядами из синусов. В задачах небесной механики, в которых рассматриваются ньютоновские силы, эти условия часто бывают выполнены.

Сходимость такого метода последовательных приближений была доказана Уиттекером [102] для некоторого специального класса задач с двумя степенями свободы, а именно: для движения в окрестности положения равновесия в общем эллиптическом случае при рационально независимых частотах нормальных колебаний (Oj, С02 II в достаточно малой окрестности равновесия. Хотя Уиттекер считал, что для большинства случаев имеет место сходимость, он, тем не менее, указал на факт, что такие дополнительные интегралы в общем случае не могут быть равномерно сходящимися для любого значения независимой переменной и по отношению ко всем значениям постоянных интегрирования или параметрам задачи из любого интервала. Это последнее утверждение очевидно следует из того факта, что по мере того, как отношение (Oi/(02 изменяется от иррационального значения к некоторому рациональному, ряды, определяющие дополнительные интегралы, принимают совершенно другой вид. Аналогичная ситуация имеет место при применении метода усреднения по отношению к типу движения, определяемого гамильтонианом Яо (опорное решение). При нелинейных колебаниях нормальная форма зависит от начальных условий и, следовательно, кажется естественным заключить, что, насколько это касается начальных условий, сходимость в любой области фазового пространства невозможна. В действительности аналогичные соображения лежали в основе теоремы Пуанкаре о расходимости рядов в небесной механике [91].

Разумеется, существует один случай, при котором вопрос о сходимости даже не встает: очевидная ситуация, когда ряды обрываются. Даже если интеграл существует в виде полинома относительно е, остается вопрос о том, каким должно быть нулевое приближение Fq. Разница между получением рядов (в конечном счете расходящихся) и полинома может зависеть от выбора функции Ff(x). Если бы был найден общий принцип нахождения таких функций, то мы могли бы иметь критерий существования ин-

нусов. Следовательно, любая фунщия, получаемая при вычислении скобок Пуассона, будет выражаться через ряды из синусов II не может содержать постоянных членов. В этом легко убедиться, если написать выражение

тегралов, являющихся нолиномами относительно некоторых физических параметров. Рассмотрим, например, случай

достаточно общий в задачах теории возмущений. В этом случае уравнение, определяющее функции Fj,, имеет вид (р=.1, 2, 3, ...)

(F„ Яо) + ЯО =.0.

Очевидно, если {к S р) тождественно равны нулю, то отсюда следует, что F =. Fq -f Fi -f . .. + Fj, i, где

(Fo, Яо) =,0, (Fu Яо) + (Fo, ЯО =.0, (f2, Яо) + [Fu ЯО =.0,

(Fp-i, Яо) + (F, 2, ЯО =.0, (F, i, Я0=0.

Последнее условие подразумевает, что функция Fj, i является интегралом системы уравнений, соответствующей гамильтониану Ни Это есть необходимое условие того, что интеграл F является полиномом степени р -1 относительно е. Ясно, что для этого достаточно, чтобы функция Fj, ! была равна Hi или являлась функцией от Ни

Например, такая ситуация имела место в случае интегрируемости Ковалевской для движения симметричного волчка иод действием гравитационного ноля. Для изучения этого движения введем неременные Андуайе [2]

L =.p = G cos Ь, ре = Gsinb-sin [1 - 4), p - H~GcosI,

где ф, гз, 9 - углы Эйлера, определение которых можно найти, например, в книге Голдстейна [44], G - величина кинетического момента, / - наклонение плоскости р (нормальной к вектору кинетического момента) к инерциальной экваториальной плоскости, b - наклонение главной инерциальной экваториальной плоскости тела к плоскости р, а Z - угол между связанной с телом осью Ох и линией пересечения плоскости Оху, связанной с телом, с плоскостью р. Пусть h - угол между инерциальной осью ОХ п линией пересечения плоскостей OXY ж р, & g - угол между линиями пересечения плоскости р с плоскостями OXY и Оху. Тогда переменные L, G, Я, I, g, h будут канонически сопряженными (см., например, [31]), и кинетическая энергия имеет вид

Потенциальная энергия при сделанном выборе осей может быть записана в виде

и/Жх -W {ха [sin / sin f cos + (sin 6 cos / + cos Ь sin / cos g) sin Ц +

+ Zo[cos Ь cos / - sin Ъ sin/cos g\),

где w - вес волчка, a Xg, у a = 0, Za - координаты центра масс в системе координат, связанной с телом. Очевидно, мы имеем интегралы Жо -f гиЖх = Е (интеграл энергии) ж Н = G cos I = Hq (так как h - циклическая координата).

Рассмотрим интеграл системы F{L, G, Н, I, g, h), такой, что F = Fo + wFx + ...,

Fo = (L,G), F, = F{L, G, I, g) {k=A,2,...),

где no предположению h - циклическая неременная, a Я = о - параметр, зависимость от которого явно не показана. Мы можем переписать Жо, Ж\ в виде

Ж = sin (Z + f) + В sin (Z - g) 4- С" sin Z cos E\ где

л - Xa--

oo „ (L-G) VG--m

В - -2m-

Ь - Xq p ,

E = z

G Qi

Условия того, что функция F -интеграл, имеют внд (k = i, 2,...)

(Жо, Е,) + {Жи F,-i) = 0. (2.6.10)

Оставим пока функцию ij;(L, G) = Fo неопределенной и попыта-

где А, в, с - главные центральные моменты инерции (по осям Ох, Оу, Oz соответственно). Если положить .4 = S, то