емся определить, при каких условиях на rj? и физические параметры ряд для F обрывается. Из (2.6.10) получаем

= [л» cos {l + g) + В" cos {l-g) + С cos I] +

+ [A-cos (l + g) - cos (l-g)- D" sin g] -

- [Al sin {l + g)-\- Bl sin (Z - g) + Cl sin Z+Z)?, cos g+F?,] -

- ["sin (Z + g) + B% sin (Z - g) + CS sin Z -b Z) cos +

(2.6.11)

При Zi; = 1 находим

= Jbc г + ) + lij sin (z - g) +

= A sin (Z + g) + S sin {l-g) + С sin Z + Z) cos + E, (2.6.12)

где E - произвольная функция, зависящая от L, G. Функция Fi имеет тот же вид, что и Жх. Действительно, это условие является необходимым, так как, взяв за "ф функцию Жо (if) = Жо), мы должны получить Fi = Жг -j- произвольная функция, зависящая от L, G. Также ясно, что не существует функции if) О, такой, что Fi = 0. При к = 2 уравнения (2.6.11) дают (см. [38])

F = Ao,i cos g + Ло,2 cos 2g + Ai-i cos {I- g) + + Aio cos Z + Aii cos (1 + g) + Ai2 cos (Z + 2g) + + .42,-2 cos (2Z - 2g) + .42,-1 cos (2Z - g) -\- A2,o cos 2Z + + Az.i cos (2Z + g) + A2,2 cos (2Z + 2g) + Bi. 2 sin (Z - 2g) + + Bi, i sin il-g) + 5i,o sin Z + Bi,i sin (Z + ) +

+ Bi.2sin(Z + 2) + F", (2.6.13)

где E" - произвольная функция, зависящая от L, G, a Aj, k, - определенные функции, зависящие от уь, ifiG, А°, В°, С°, 23°, Е, L, G, а, Ъ w их производных. Если предположить F2 = О, то все эти коэффициенты должны быть тождественно равны нулю, и мы находим, что

Е" = Еь = Еа = 0,

а ири условии, что к - ненулевая постоянная, должно быть А = кА\ В = fcSo, С = кС, D = fcDo,

так что Fq = кЖь и Fi = кЖ\. Отсюда видно, что любой дифференцируемый интеграл (справедливый для всех значений w), имеющий вид Fo wF\, необходимо должен быть иронорционален функции Жо + 1оЖ\.

Из (2.6.11) ири А: = 3 находим

= 2 2 [АиJсо {kl+ ig)+Big sin [kl + jg)]. (2.6.14)

-3 , = - 3

где индексы к. / одновременно в нуль не обращаются, a.4ft j,B;;j- функции, зависящие от l, фс, 5°, С", D°. Е, Е\ а, b и

их производных. Полагая равными пулю все коэффициенты этого тригонометрического полинома, находим

I) а = & {А = 2С), II) DO = = = О (z« = 0),

HI) IV)

г) =

---•зе 24

(2.6.15)

При этих условиях из (2.6.12) следует, что

(G + L)sm{l-g)]

F r= G- sin & [sin / (sin g cos I - cos Ъ cos sin I)

- cos / sin 6 sin Z]. (2.6.16)

Из (2.6.13) находим

2 I - / 2

G I

cos 2 -H

-L 9

cosg

2 Ах"

Ч /л „„„2 Q\ G

III) F, =(1 - cos2 6) =--f sin-6.

Используя обозначения Лейманиса [68]

я = iuXgA-\ I = sin гз sin 6, 11 = cos г) sin 6, t, = cos 6,

получаем

F = ip -q- 2ц)2 + {2pq - 2)-

Таким образом, для любого значения iv (которое здесь играет роль е) найден интеграл, правда, при условии А = В = 2С. При более общих условиях Арнольд [3] показал, что эта система интегрируема для достаточно малых значений w, т. е. он показал устойчивость быстрого волчка.

7. Решение задачи Пуанкаре с помощью скобок Пуассона. Уничтожение секулярных членов в дополнительных интегралах

В этом- параграфе мы хотим показать, как решить задачу Пуанкаре, пснользуя скобки Пуассона н, в то же время, как исключить секулярные члены при построении дополнительных интегралов. Главным образом мы будем иметь дело со случаем вырождения, прн котором главная часть гампльтоннана зависит только от одно11 переменной действие, а возмущения 2л-перво-дичны по угловым переменным. Как мы уже видели, в этой си-

F, = -р- (1 - cos- b cos- / - sin b sin" I cos g -

2 sin b cos b sin / cos / cos g).

Легко видеть, что функции Fs, F4, .. . равны нулю, т. е. мы установили существование интеграла

F = Fo + ivFi + ivFz,

который является интегралом Ковалевской (см., например, [68]). Записывая F через р, q, г (компоненты вектора угловой скорости по осям Ох, Оу, Oz) и углы Эйлера, находим

1) Fo = (l - = sin Ь = {f- - сГ-у\

П) Fi = - [(i?- -g2)sinesinil3 + 2i3gsinecosi3],