с условием, что в каждой функции Fniy, х) не должно быть секулярных членов в том смысле, что замена У] = ©"т -\- у, должна давать

\imF,{y{x),x)<oo. (2.7.3)

Однако функции г()гг получаются в результате перемножения тригонометрических рядов, т. е. они должны содержать члены, которые являются функциями только X, так что при интегрировании уравнений (2.7.2) условия (2.7.3), вообще говоря, не будут выполнены. Нежелательное секулярное поведение может быть уничтожено введением описываемой ниже процедуры усреднения. Мы рассмотрим случай вырождения высокого порядка, когда функция Яо зависит только от одного импульса, т. е. Яо = Hq{xx). Аналогично процедуре Пуанкаре мы попытаемся получить интегралы, которые при Я = Яо равны импульсам, а в общем случае

Fjxj + eAFjiy, X) (2.7,4)

при / = 1, 2, 3, ... При этом остается открытым вопрос о том, приведет ли такой выбор к интегралам

х, = Xj-\-&Wj{y, X), (2.7.5)

туации при введении рядов в методе Пуанкаре возникают некоторые трудности, которые привели Цейпеля к уже описанному обобщению метода. Как мы уже видели, с помощью метода Пуанкаре строятся п формальных интегралов, нулевыми приближениями которых являются переменные действие, являющиеся постоянными в невозмущенном движении. Оставшиеся п интегралов по существу являются постоянными интегрирования для угловых переменных, если все они в конце концов исключены из гамильтониана. Процесс, который мы здесь собираемся обсуждать, по существу совпадает с процессом, введенным Уиттекером, хотя исключение секулярных членов было впервые проведено в работе Джакальи [37].

В обычных обозначениях рекуррентные соотношения имеют вид

(Яо, F,) = - У (Я, ,-, F,) - [у, X), (2.7.1)

где функция rjjft известна, когда все {к - \) приближений известны. При = О = 0. Полагая также == [х), имеем

jiLildx. dv. dv. дх.) д-Ър-Ггз,

ду, \дх. ду. ду. дх. j ду1

определяемым методом Пуанкаре. Так как по предположению F) и х] являются интегралами, то функции

Fj-Xi = г{Fj-Wj)

также будут интегралами. Теперь AFj и Wj не являются интегралами (так как аг - не интегралы), так что AFj= Wj. Отсюда следует, что, если процедура сходится дпя е из некоторого интервала, то оба метода приведут к одинаковому результату, хотя использование скобок Пуассона дает явный вид решения и дает некоторую дополнительную информацию. Следовательно, мы положим

F==x+F{y,x) + F,{y,x)+ (2.7.6)

II = Яо {X,) + Н, {у, х) + Н{у,х) + (2.7.7)

где Я удовлетворяет упомянутым выше условиям. Уравнение для приближения первого порядка {k=i), получаемое из (2.7.1), дает

так что

Fi = - 4 ip (У, 00) + Fi, (j/2, ..., X), (2.7.8)

где Hip определяется операцией выделения из Hi среднего по г/ь В общем случае

fp {у, x) = f {у, x)-\imjr\f {t, У2,---, Уп, 00) dt, или для рассматриваемого случая

/р(У, а;) = /(г/,а;)- /(1,2, ..., Jr„, ж) di.

Индекс S указывает на отсутствие переменной yi, а функция Fu, очевидно, произвольна. Приближение второго порядка определяется из уравнения

odF у (dHi dFi dHi dFA дН

где \\-2p и фгз - известные функции, имеющие вид

2s I I I 9„ ace.

j L\ г /s \ r

Если функция F2 не должна содержать секулярных членов, то г)25 должна уничтожаться, что определяется условием

д гг2 Hi

= 0,

а так как последний член в правой части этого условия равен нулю, то функцпя Fis определяется уравнением

(Ни, Fu) = 0.

(2.7.9)

для которого надо найти какое-нибудь простейшее частное решение в этом случае Fjs = 0. Для простоты рассмотрим случай

Я = о + 1, (2.7.10)

так что приближение второго порядка определяется уравнением

Е\р

а так как

- " тт-

то отсюда следует

2 = /2р +/2s,

(2.7.11)

где функция (г/2, ..;Уп,х) произвольна. В случае (2.7.10) для приближения третьего порядка 1шеем

(Ни, F2.) + (Ни, F2p).,