Ясно, что из уравнений (1.1.14) можно найти у при выполнении обычного условия

1(Т)1 0,

означающего, что выполнено неравенство

г7 (уо,

о {а, Р)

соответствующее начальным условиям

у>{0,а,) = у„, хЦО,а.)=У„ (1.1.10)

то легко проверить, что

=/(,-«)-

Для возмущенной системы i(1.1.8) имеем выражение

y = f{y.y,t) + g{y,y,t) (1.1.11)

и положим, что ее решение имеет вид (1.1.9), где, разумеется, аир теперь зависят от времени. Отсюда следует, что

где сс, Р - векторы размерности п. Далее имеем

и, следовательно,

aPg(i,«(«,P), «(a,P),f). (1.1.13)

Система 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1.1.12) и (1.1.13) образует систему уравнений Лагранжа для вариаций произвольных постоянных. Эти уравнения можно заш1сать в виде одной спстемы, используя, например, матрицу Лагранжа 2(7), где v = col(a.p). Тогда получим

2(7)-V = fV ё{У {t.y).x{t.y),t). (1.1.14)

которое будет удовлетворено, если считать", ж"общим решением ypaiBHeHHE (1.1.8) с произвольными начальными условиями Уд Xq или с постоянными интегрирования а, р. Более того, мы потребуем, чтобы матрица

удовлетворяла условиям Липшица в некоторой области у-прост-ранства. Строго говоря, все (вышеперечисленные утверждения носят локальный характер, однако, и это становится важным ири рассмотрении каких-нибудь приложений, эти утверждения можно распространить на некоторую область изменения переменных. Аналогичным образом функции, которые мы будем рассматривать, считаются непрерывно дифференцируемыми по t, вообще говоря, при всех вещественных t.

Матрицы Лагранжа и Пуассона удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающей некоторыми замечательными свойствами. Действительно, рассмотрим систему 2п дифференциальных уравнений

2 = ф (Z, t)

И ее решение 2 (у, t) е С, зависящее от 2п постоянных интегрирования Y и времени t, в некоторой области -пространства для всех \t\ <СТ. Пусть / = dz/di - неособенная матрица Якоби преобразования v-> 2,которая по предположению также есть матрица класса С. Тогда получим

= Л 91 = а!Fv(V- i)=g-y (V, о = aiФ (V, t),t) = J

JGJ, (1.1.15)

где G = д((>/дг - неособенная матрица размерности 2п X 2п. Теперь будем считать

2" (Y, О = JMJ, так что, используя (1.1.15), находим

= P{GM + MG)J. (1.1.16)

Лемма. Матрица Лагранжа 2"(у, t) преобразования у->2 является постоянной тогда и только тогда, когда матрица MG симметрична.

2 г. Е. о. Джакалья

Действительно, пусть матрица MG симметрична, т. е. MG = (MGy = - GM.

Тогда GM + = О и 5 = 0. Обратно, пусть 5 = 0. При описанных выше предположениях отсюда следует, что

GM +MG --= О

GM -MG = RPG = {Gmy,

что и завершает доказательство.

Из (1.1.16) и доказанной леммы следует, что поток гамилъ-тоновой системы сохраняется (теорема Лиувилля).

Действительно, в случае если Н = H{z) является гамильтонианом, имеем

z = MHl,

так что

G = {MHl) = MH-

и матрица MG = - Н, следовательно, симметрическая. Отсюда получаем 2 = О или

j-iJMJ) =0.

т. е. PMJ = const. Пусть t - вектор начальных условий Zj, а Jo = I (единичная матрица), и, следовательно,

PMJ=.M, (1.1.17)

а также, в частности,

1/ = const =1,

что и доказывает теорему (случай /1 = - 1 отбрасывается по непрерывности).

Если 2га-мерный вектор z состоит из га-мерных векторов у -в. X (координаты и импульсы), то более точно можно записать

/ду ду \дуа дХо,1