И все <0а являются функциями неременных xi, ..., Хп. В частности,

о дН,

так что

1/а = Иа« + гv{x, 8)i +

С другой стороны,

Уа = -=уа {Х, у, 8) = 1/„ -f 8р,< {х, у, б).

Секулярная часть членов правой части уравнения должна быть равна нулю, т. е.

(Я,.,о)=0, (2.7.12)

так как Fo по предположению не зависит от yi. Это предположение легко оправдать условием (Яо, Fo)=0 при Яо=Яо(а;1). Решение уравнения (2.7.12) получается сразу же и имеет вид: Fo=kHu, где к - постоянная. С точки зрения теории Гамильтона - Якоби ясно, что такой выбор вида Fo эквивалентен ситуации в методе Пуанкаре (см, [37]).

Интересной физической чертой этой процедуры является то, что секулярная часть функции Я] становится приближением нулевого порядка для интеграла движения. Этот факт объясняется сохранением энергии системы при каноническом преобразовании. Кроме того, обсуждаемый вопрос тесно связан с методами теории возмущений, основанными на преобразованиях и рядах Ли, которые будзт описаны ниже в этой главе.

Теперь рассмотрим исходную систему вида

дН дН .

2/ = ; " = "37, ( = 1, •••,),

где Н = Н {у,х). Пусть t = i/„+i, так что

Уа=-, а-, = - (а = 1, ...,ге + 1), (2.7.13)

где Ж = Н-\-Хп+1, Хп+1 = Р = const. Угловые переменные такой системы, в соответствии с методом Пуанкаре, имеют вид

ya-(uj + ya0,

где уао - независимые постоянные, а

\ дх дг/ дг/ дх а=1\ а »а "а а

Если Яо = Яо (ж), то приближение пулевого порядка должно определяться уравнением

у дЩ.дР дР, А "я Уп ~ Уп+г

частным решением которого является функция

0= у1- Уп+1 = у1~ (0??/nf 1,

что совпадает с (2.7.15) прп к = i.

Возникает вопрос: имеют ли какое-нибудь значение полученные таким образом формальные ряды, так как в рассматриваемом случае члены, линейные относительно времени, уничтожить нельзя? Однако тот же вопрос возникает и при использовании метода Пуанкаре, при котором частоты со, = со, 4- + • • • в действительности на практике получаются только до некоторого приближения порядка р. Как уже говорилось, этот факт отражается тем выводом, 4tq даже если ряды сходятся, в практических вычислениях они, тем не менее, могут быть пригодны не для любых интервалов времени, а в лучшем случае лишь при t = 0{г-).

Запишем условие существования интеграла F для (2.7.14) в виде

Сравнение двух последних соотношений дает

Ра = г/а - Maf + 8 - vj).

Но ,3а являются постояннымп для системы (2.7.13) и могут быть записаны в виде

н = Уи- «Wi + h {оо,у, t, 8), (2.7.14)

а члены нулевого порядка в таких интегралах можно записать так:

Рм=-~Уп-1уп+1 (k = i,...,n). (2.7.15)

Теперь условие Пуассона записывается в виде

При k-= i 1[меем a при = 2

0 dF.2 , OF-, n \

И т. д. Можно найти решение для F\ в виде

1 9< г 5Я, , , г асо? г , , , ,

" (- "О ". " • • • •

где г: - произвольная функция. С другой стороны, и.меем

так что, еслп ] является 2я-периодпческой функцией переменных 1/1,..., 1/„, то мы получаем

\ (Я11/,) dy - J Я1Ф1 = - ]" Ярйу,. Следовательно,

1 Г 5Я1 1 9(0» г « «« , „.

= J - J +

И формально определим эти интегралы следующим образом. Мы положим

Га = У1 - wl, Н = Н,{х,)Н, (у.х).

Рекуррентные соитношения для Fp, будут иметь вид или